Erweiterung eines Klammerausdruckes. 
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und man wird es plausibel finden, dass in einem solchen Falle das 
Integrationsgeschäft noch weiter vereinfacht werden kann. 
Demnach werden wir in diesem Kapitel überhaupt den Inbegriff 
der bekannten infinitesimalen Punkttransformationen betrachten, welche 
eine vorgelegte Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y gestattet, 
und werden dadurch zu einem sehr wichtigen neuen Begriff, zu den 
Gruppen von infinitesimalen Transformationen geführt werden. 
In den folgenden Kapiteln werden wir diese Theorien weiter ent 
wickeln und verwerten. 
In § 1 werden wir zunächst einen wichtigen Hülfssatz ableiten, 
den wir in § 2 anwenden müssen. 
§ 1. Erweiterung eines Klammerausdruckes. 
Eine infinitesimale Transformation: 
U f=f x + Vf y 
kann, wie wir wissen, durch Mitberücksichtigung der Transformationen 
des ersten, zweiten u. s. w. Differential quotienten y, y" ••• erweitert 
werden. Die erweiterte Transformation bezeichneten wir — und wollen 
das auch jetzt thun — mit U'f, U"f u. s. w. 
Liegen nun zwei infinitesimale Transformationen U x f und U 2 f 
vor, so kann man den Klammerausdruck (U x Uf) bilden, der wiederum 
eine infinitesimale Transformation in x, y darstellt, und ihn der Er 
weiterung unterwerfen. Wir werden die erweiterten Klammerausdrücke 
mit (U x Uff, (Ui Uf>" u. s. w. bezeichnen. Andererseits kann man nun 
auch mit den erweiterten infinitesimalen Transformationen Uff, Uff] 
Uff, Uff u. s. w. die .Klammerausdrücke (Uf üf), (UfUf) u. s. w. 
bilden. 
Nahe liegt die Vermutung, dass daun 
fU x Uff = füfUf), 
u. s. w. ist, denn es stimmen die Ausdrücke links und rechts sicher 
in den Coefficienten von und überein, die nur x, y enthalten. 
Wir werden beweisen, dass jene Identitäten in der That richtig sind. 
Um den Beweis durchzuführen, brauchen wir einen Satz, den wir Hülfssatz. 
gleich jetzt angeben: 
Satz 1: Stehen q symbolische Ausdrücke Vf , Vf • • • V q f zu zwei 
Symbolen W x f, W 2 f in Beziehungen von der Form: