Über d. Anzahl d. unabh. inf. Punkttrf. e. Diffgl. zweit. Ord. in x, y. 403 
§ 3, Über die Anzahl der unabhängigen infinitesimalen Punkttrans 
formationen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in y. 
In § 6 des vorigen Kapitels fanden wir, dass die Differential 
gleichung y" = 0 acht und nur acht von einander unabhängige infini 
tesimale Transformationen gestattet. Es besteht nun der Satz, dass 
eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 
V — v{x,y, y) = 0 
überhaupt höchstens acht von einander unabhängige infinitesimale 
Transformationen gestatten kann. Dass diese Maximalzahl wirklich 
erreicht werden kann, lehrt das Beispiel y" = 0. 
Der Beweis des genannten Satzes stützt sich auf einen functionen 
theoretischen Hülfssatz: 
Ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung y” — co (x, y, y) — 0 
vorgelegt, so ist es immer möglich, in der Ebene (x, y) einen solchen Bereich 
abzugrenzen, dass durch zwei beliebige Punkte desselben immer eine und 
nur eine Integralcurve der Differentialgleichung hindurchgeht. 
Der Beweis dieses Satzes gehört nicht hierher. 
Wir wollen annehmen, die Differentialgleichung 
y" — co(x, y, y) = 0 
gestatte mehr als acht, also mindestens neun von einander unabhängige 
Punkttransformationen U t f, U 2 f ■ • • U 8 f, U 9 f, wo allgemein 
Nachweis, 
d. e. Diffgl. 
zweit. Ord. 
höchstens 
acht inf. Trf. 
zulässt. 
W= IO, y)^i + Vifa y) r jy 
sei. Wir wählen alsdann in dem im Hülfssatze erwähnten Bereiche 
vier Punkte p 1} p 2 , p 3 , p±, unter denen nicht drei auf derselben Inte 
gralcurve der Differentialgleichung gelegen sind. Nach Satz 5 des 
§ 2 gestattet y"— co = 0 jede von ü t f, U 2 f • • ; U 9 f abhängige infi- 
nitesimale Transformation 
Uf = c 1 ÜJ -j- c 2 U 2 f -J- • • • c s U 8 f + c 9 U 9 f. 
Wir wollen nun die neun Constanten c 1} c 2 • • • c 9 so wählen, dass 
üf die vier Punkte p 1} p 2 , p 3 , p± invariant lässt. Sind x k , y k die 
Coordinaten des Punktesp k , so ist dazu notwendig und hinreichend, dass: 
Cj (%k, yf) “^2^2 (j^k) yf) -p ' " ■ ”j“ Cg lg (x k , yf) = 0, 
yk) + c 2 r] 2 {x k , y k )~f h C 9 %{x k , yf) = 0 
(k = 1, 2, 3, 4) 
sei. Dies sind acht Gleichungen für die neun Grössen c 1; c 2 • • • c 9 . 
Sie lassen sich immer erfüllen, sodass also bei den gemachten Vor 
aussetzungen stets eine Transformation 
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