Über d, Anzahl d. unabh. inf. Punkttrf. e. Diffgl. zweit. Ord. in x, y. 405 
ist, so werden die Richtungen y durch p k vermöge einer infinitesimalen 
projectiven Transformation untereinander vertauscht. Hierbei bleibt das 
Doppelverhältnis von vier beliebigen Strahlen dieses Büschels invariant, 
also auch das von yf, yf, yf und irgend einer Richtung y. Da nun 
vii vii Vs selbst invariant sind, so ist deshalb notwendig auch diese be 
liebige Richtung y invariant. 
Somit hat sich ergehen: Bei der infinitesimalen Transformation Uf 
bleiben die Linienelemente durch jeden der vier invarianten Punkte eben 
falls invariant. Nun hat jede durch p k gehende Integralcurve in p k ein 
Linienelement (x k , y k , y), und zu zwei verschiedenen Linienelementen ge 
hören auch verschiedene Integralcurven. Da die Linienelemente bei ü'f 
invariant bleiben, so folgt mithin, dass auch jede durch p k gehende 
Integralcurve bei Uf invariant ist. Ist nun schliesslich p ein beliebiger 
Punkt unseres Bereiches, so gehen durch ihn nach unserem Hülfssatz 
und nach der Voraussetzung, dass keine drei der vier Punkte p k auf 
einer Integralcurve liegen, mindestens zwei Integralcurven nach den 
invarianten Punkten, also zwei invariante Curven. p muss deshalb als 
Schnittpunkt der beiden invarianten Curven auch invariant sein. Eine 
Transformation unserer Gleichung y" — co — 0, welche vier Punkte 
jenes Bereiches invariant lässt, lässt also alle Punkte desselben und 
— wie durch analytische Fortsetzung folgt — überhaupt alle Punkte 
der Ebene in Ruhe, d. h. sie ist die Identität. 
Demnach kann es höchstens acht von einander unabhängige in 
finitesimale Transformationen unserer Gleichung geben, denn die Vor 
aussetzung, dass es neun gebe, führte zu einer wirklichen Transformation 
Uf, welche die vier Punkte in Ruhe lässt, und nicht zur Identität. 
Theorem 39; Eine gewöhnliche Differentialgleichung ziveiter 
Ordnung in x, y: 
V, V, y") — 0 
gestattet höchstens acht von einander unabhängige infinitesi 
male Transformationen in x, y. 
Es möge hier ohne Beweis angeführt werden, dass jede Differential 
gleichung zweiter Ordnung, welche wirklich acht unabhängige infinitesimale 
Transformationen gestattet, durch Einführung neuer Veränderlicher auf die 
Form y" = 0 reducibel ist. Diese Gleichung hat zu Integralcurven die 
oo 2 geraden Linien der Ebene. Sobald also eine Differentialgleichung 
zweiter Ordnung acht von einander unabhängige infinitesimale Transfor 
mationen zulässt, können ihre oo 2 Integralcurven in die Geraden der Ebene 
transformiert werden.