Gruppen von inf. Transformationen und ihre zweigliedrigen Untergruppen. 407 
Obzwar dieser Begriff eng mit dem früher in § 2 des 2. Kapitels 
auseinandergesetzten Begriff einer r-gliedrigen Gruppe von (endlichen 
und infinitesimalen) Transformationen zusammenhängt, wollen wir uns 
doch um diesen Zusammenhang jetzt nicht weiter kümmern und den 
Begriff einer Gruppe von infinitesimalen Transformationen nur in obiger 
Weise definieren. 
1. Beispiel: In zwei Veränderlichen x, y bilden die beiden infini- Beispiele, 
tesimalen Transformationen: 
TT n df , df 
u if= x j^ + y 
dy’ 
TT /. df , df 
U if= — V^ + x d^ 
eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen, denn 
sie sind zunächst von einander unabhängig, d. h. es ist r = 2, und 
ausserdem ist 
(tW) = o. 
2. Beispiel: Auch 
rr v? — df tt -P df i . df 
Ui f—d^c’ — X 8x + V dy 
geben eine zweigliedrige Gruppe von ^infinitesimalen Transformationen, 
da hier r = 2 und 
ist. 
3. Beispiel: Um zu entscheiden, ob 
Ol f 
Dif== («*+«)$+ (»» + ») U,f = xg + yg 
eine Gruppe von infinitesimalen Transformationen bilden, bemerken 
wir, dass sie von einander unabhängig sind, also r — 2 ist, und dass 
df 
•—„df 
df 
d l 
)x 
xy 
dl 
dy 
(UMeee-x 2 ^ 
ist. Dies aber zeigt, dass 
(D^ee U,f- UJ 
wird. {ÜJJ 2 ) ist mithin von UJ und U 2 f abhängig, d. h. ÜJ und 
U 2 f erzeugen eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen. Dieselbe enthält alle von ÜJ und ü 2 f abhängigen in 
finitesimalen Transformationen, also, was auf dasselbe hinauskommt, 
alle von 
Ul= ÜJ- U 2 f: 
df 
d x 
i df 
+ x y dy 
ü,/■: 
df . 
x y 
dx 1 J 
d£ 
dy 
und