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Kapitel 17, § 4. 
Unter 
gruppe. 
Beispiele. 
abhängigen. Wir können also auch au Stelle von UJ das bequemere 
UJ benutzen und haben dann 
= - ü x f. 
4. Beispiel: In drei Veränderlichen x, y, z bilden die beiden 
Transformationen; 
n f =K + K + il Tj f = x K + v d J: + Jl 
1 dx ' dy ‘ dz ’ 2 ' dx ' J dy ' ^ dz 
eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen, denn 
sie sind von einander unabhängig und es ist 
( U x ü 2 ) = ü x f 
5. Beispiel: Die vier infinitesimalen Transformationen: 
rr i df T j cf 
U 1 f = xJ-, UJ = xJ. 
v,f=y d / x , VJ, 
df 
y dy 
sind von einander unabhängig, und es ist: 
(UM = UJ, {TJ X U 3 ) = - UJ, (L\U,) = 0, 
(L\U 3 ) = UJ - UJ, (U 2 U A ) = U 2 f, {UM = - UJ. 
Mithin bilden sie eine viergliedrige Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen. 
Liegt eine r-gliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen 
UJ, UJ • • • UJ vor, so kann es möglich sein, dass schon eine ge 
ringere Anzahl von einander unabhängiger infinitesimaler Transfor 
mationen c x UJ -f- c 2 UJ 4 -j- c r UJ für sich eine Gruppe bildet. 
In diesem Falle nennen wir diese weniger als r-, etwa s-gliedrige 
Gruppe eine s-gliedrige Untergruppe der vorgelegten Gruppe von infini 
tesimalen Transformationen. Einige Beispiele werden dies besser als 
theoretische Erläuterungen klar machen. 
1. Beispiel: Die drei infinitesimalen Transformationen: 
Dlfs* £ + **$,’ ü^ X ylL + yJ y , 
tt -f df . df 
u * f = x di + y d^ 
bilden eine dreigliedrige Gruppe, denn sie sind von einander unab 
hängig und es ist: 
№^=0, {ü 1 u s ) = --ü 1 f, (u 3 d 3 ) = -uj. 
Hier bilden UJ und UJ für sich eine zweigliedrige Gruppe, ebenso 
UJ und ÜJ sowie analog UJ und UJ. Unsere dreigliedrige Gruppe 
besitzt demnach unter anderen die zweigliedrigen Untergruppen 
UJ, V/; UJ, U 3 f-, uj, ÜJ.