410 
Kapitel 17, § 4. 
für infinitesimale Transformationen in zwei Veränderlichen oder für 
r <T8, sondern für jede durch unsere Definition gegebene r-gliedrige 
Gruppe von infinitesimalen Transformationen in n Veränderlichen. 
Es ist dies zu bemerken deshalb wichtig, weil eben der Begriff einer 
solchen Gruppe nicht auf Gruppen von infinitesimalen Transformationen 
einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y beschränkt ist, 
sondern eine viel grössere Bedeutung hat, die wir freilich hier noch 
nicht benutzen werden. 
Zum Beweise unseres Satzes seien U x f, ü 2 f • • • U r f r von ein 
ander unabhängige infinitesimale Transformationen der r-gliedrigen 
Gruppe und also jedes 
r 
(5) {UiUh) = jjj Cat, U,f 
l 
(>, * = 1, 2 ■ • • r), 
wo die Ca, Constanten sein sollen. Wir werden zeigen, dass es eine 
zweigliedrige Untergruppe dieser Gruppe giebt, welcher z. B. die in 
finitesimale Transformation ü x f angehört. 
Soll dies der Fall sein, so muss sich eine infinitesimale Trans 
formation 
üf = e 2 U 2 f -J- • • • -{- e r U r f 
angeben lassen, in der erstens die Grössen e 2 • • • e r Constanten sind, 
und für welche zweitens , üf) sich linear mit constanten Coeffi- 
cienten durch U{f und Uf allein ausdrückt: 
(Ui/, e 2 ü 2 f -f- ♦ • • + e r ü r f) = a U x f -j- h{e 2 ü 2 f -f- • • • + e r ü r f) 
(a, & = Const.). 
Zunächst giebt diese Relation: 
r 
2 e * (v*) = aUJ+ h{e % UJ+--- + e r Urf), 
2 
also nach (5) 
r r 
6k ¿J S Clks ^ = a U2/ + ■ • • e r Urf). 
2 1 
Beide Seiten sind nun linear in ü x f • • • U r f und haben constaute 
Coefficienten. Nach Voraussetzung sollen jedoch U x f • • • U r f von 
einander unabhängig sein. Diese Relation kann also nur dann be 
stehen, wenn sie eine Identität ist, indem links und rechts jedes ü,f 
denselben Coefficienten hat. Die Coefficientenvergleichung liefert dem 
nach die r Forderungen: