414 Kapitel 18, §§ 1, 2.
(CTtCr,) = 0
oder
(U&yhiUJ
ist. Die eine Form schliesst die andere aus.
Hiermit haben wir alle zweigliedrigen Gruppen in zwei Classen
eingeteilt. Jede dieser Classen kann nun noch nach einem zweiten
Gesichtspunkt in zwei Unterclassen zerteilt werden. Es ist nämlich
allerdings von vornherein ausgeschlossen, dass zwischen U x f und U 2 f
eine Relation mit constanten Coefficienten bestehe, wohl aber kann
zwischen zwischen ihnen eine Relation mit variabeln Coefficienten stattfinden:
?>,(*, y)VJ+ <p 2 {x,y)U,f=0.
Natürlich soll sich cp 1 : <p 2 nicht auf eine Constante reducieren. Eine
derartige Relation sagt bekanntlich aus, dass U x f und U 2 f dem
Punkte (x, y) infinitesimale Fortschreitungsstrecken in derselben Rich
tung zuordnen, d. h. dass die Bahncurven der von ü x f und von U 2 f
erzeugten eingliedrigen Gruppen von endlichen Transformationen über
einstimmen. (Vgl. § 1 des 6. Kapitels.) In diesem Falle hat auch
die von einer beliebigen infinitesimalen Transformation
Const. U x f Const. U 2 f
erzeugte eingliedrige Gruppe diese selben Bahncurven. Wenn dagegen
zwischen ü x f und U 2 f keine solche Relation besteht, so besteht auch
keine zwischen irgend zweien von einander unabhängigen infinitesi
malen Transformationen
a x U x f + « 2 U 2 f, b t UJ-f \U 2 f (a, b = Const.)
unserer zweigliedrigen Gruppe UJ, U 2 f. Das Bestehen oder Nicht-
Bestehen einer derartigen Beziehung kann deshalb als Unterscheidungs
merkmal der zweigliedrigen Gruppen benutzt werden,
vier Arten Demnach giebt es vier Arten von zweigliedrigen Gruppen von infni-
giiedrigen tesimalen Transformationen U.f, U 2 f der Ebene, entsprechend den vier
Gruppen.
Fällen:
I. (!7,i7 a ) = 0, 0,
II. (Oi £T a ) = 0, küJ+v.UJ-eeO,
III. (£1,(7,)= ÜJ, nUJ+ip.U.f^ 0,
iv. {UXvXf + tXJ=
Jeder dieser vier Fälle schliesst die drei anderen aus.
Wir werden nunmehr diese vier Formen nach einander betrachten
und jedesmal durch zweckmässige Wahl der Veränderlichen die be
treffende Gruppe auf eine canonische Form oder einen Typus bringen.
