Erster Typus. 415 
§ 2. Erster Typus: (TJ X L7 2 ) = 0 und q> x U x f -f- (p 2 ü 2 f^ 0. 
Vorgelegt seien zwei von einander unabhängige infinitesimale 
Transformationen U x f und U 2 f der Ebene, deren eingliedrige Gruppen 
verschiedene Bahncurven haben und für welche 
ist. 
(№ = o 
auf die 
erste cano- 
nischeForra. 
Nach Satz 4 (§ 2 des 3. Kap.) lassen sich die Veränderlichen ^ductkm 
x, y so wählen, dass U x f die Form einer Translation erhält: 
ü f= — 
UlT — dx> 
während alsdann U 2 f etwa die Form hat: 
Dann ist: 
0 
TT f t df , df 
(Tj Tj\ — dì df ■ dy df 
^ 1 2 ' dx dx ‘ dx dy’ 
d. h. £ und rj sind Functionen von y allein, sodass 
^r= r« H + TM |i 
wird. Nach unserer Voraussetzung, dass ü x f und U 2 f verschiedene 
Bahncurven haben sollen, d. h. dass zwischen U x f und TJ 2 f keine 
lineare Relation bestehen soll, ist sicher Y x e\= 0, denn sonst wäre 
YU x f— T T 2 f=0. Nun lässt sich eine Function t) von y berechnen, 
sodass 
Y (y) -I. = 
dy— dt) 
wird. Es muss nämlich 
«= r_i2_ 
gesetzt werden. In x und 1) haben nunmehr U x f und U 2 f die Formen: 
U f— — 
UlT — dx' 
U 2 f': 
H+1 
*'0Ö)|£ + |f 
Führen wir 
l = x — 
als neue Variabele an Stelle von x ein, so wird 
U,f=stoO)) 
Wenn wir also ^>(ty) = Jq){\))d)i) wählen, so wird 
üf=— U f=— • 
Ul '—di’ Ü2T — dt) 
Damit sind wir zu dem Satz gelangt (in welchem £ und t) mit x, y 
bezeichnet sind):