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Kapitel 18, § 2. 
Satz 2: Stehen zivei infinitesimale Transformationen U 1 f und U 2 f 
der Ebene in der Beziehung (U x Uf) = 0, und haben sie dabei verschiedene 
Bohncurven, so können sie immer gleichzeitig durch passende Coordinaten- 
wahl auf die Form zweier Translationen gebracht werden. 
Dieser einfache Satz, der sich auch auf den Fall zweier oder 
mehrerer infinitesimaler Transformationen in n Veränderlichen aus 
dehnen lässt, besitzt eine hervorragende Bedeutung. 
ge- 
defßeXc 8 - Wir haben gezeigt, dass U x f und U 2 f auf die Form 
t Quadra- li bracht werden können, aber nicht, wie wir es in einem gegebenen 
Fall thun werden. Um auch dies zu erledigen, seien 
ÜJ = 
df 
+ Vt 
df 
U,f: 
df 
df 
’ 2 dx ^ 2 dy 
unsere beiden infinitesimalen Transformationen, geschrieben in irgend 
welchen Veränderlichen x, y. Nach dem Obigen lassen sich immer 
zwei Functionen £ und von x, y angeben, sodass 
dx ' 71 dy die 7 
t df , d_f dff 
* 2 dx ' 2 dy d\) 
wird und zwar für jede Function f. Setzt man /"=£, so kommt: 
& || + Vt Hi = 
dx 
+ V-2 
dy 
dy 
0. 
Hieraus lassen sich ~ berechnen, denn die Determinante —£2^1 
ist nicht identisch Null, weil zwischen TJJ' und U 2 f keine lineare 
Relation besteht. £ selbst wird mithin durch Quadratur eines voll 
ständigen Differentials gefunden. Indem man f=t) setzt, erhält man 
analog zwei Gleichungen, aus denen sich “ und als Functionen 
von x, y berechnen lassen. Also wird auch t) durch eine Quadratur 
gefunden. Zu beachten ist, dass die Bestimmung von ganz unab 
hängig von der des £ erfolgt: beide erforderliche Quadraturen sind 
von einander unabhängig. (Abhängig würden wir sie nennen, wenn 
die Durchführung der einen die vorherige Berechnung der anderen 
verlangte.) 
Satz 3: Stehen zwei infinitesimale Transformationen U x f, ü 2 f der 
Ebene mit verschiedenen Bohncurven in der Beziehung (U 1 U 2 ) = 0, so