Erster Typus. 
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verlangt ihre gleichzeitige Reduction auf die Formen zwei von 
einander unabhängige Quadraturen. 
Man kommt hier mit Quadraturen aus, während die Zurück 
führung einer einzigen infinitesimalen Transformation TJ x f auf die 
Form bekanntlich die Integration einer gewöhnlichen Differential 
gleichung erster Ordnung und eine Quadratur verlangt (vgl. § 2 des 
3. Kap.). Der Grund liegt darin, dass uns hier die besondere Eigen 
schaft von ü x f bekannt ist, dass (U x U 2 ) = 0 ist, dass also mit 
anderen Worten die Differentialgleichung U x f — 0 die infinitesimale 
Transformation U 2 f gestattet, also die Bahncurven von U x f durch 
Quadratur bestimmbar sind (nach Theorem 8, § 1 des 6. Kap.). 
Ebenso lässt die Differentialgleichung ü 2 f = 0 die infinitesimale Trans 
formation U x f zu, also können auch die Bahncurven von ü 2 f durch 
Quadratur gefunden werden. 
Beispiel: Sei: 
UJ= 
df . df 
— yj x + x 
TJ,f- 
df 
d x 
+ y 
df 
dy ’ ^2/ ™ dx 1 V dy’ 
so ist (U X U 2 ) = 0, während keine Relation zwischen U x f und U 2 f 
besteht. Also liegt der soeben besprochene Fall vor. Man kann neue 
df rrs—df 
Veränderliche £, angeben, wodurch ü x f=-r~, ü 2 f m —^ 
sie zu finden, haben wir die Gleichungen zu bilden: 
wird. Um 
di 
dl 
und 
y d'x JrX dt) 
dev 
X-rr. + y 
dt) 
di) 
yf~x + x dy 
0, x 
di 
dy 
dt) 
0 
dt) , vy 1 
Tx + yji,^ 1 ' 
Die beiden ersten liefern: 
dl 
— V 
d. h. 
d x x* -f- y 2 ’ 
dl 
dy 
X 2 + y 2 » 
= arc tg X + C0“t. 
und die beiden letzten 
dt) 
d x 
d. h. 
dt) 
dy 
y 
x 2 _j_ y2; 
x* + i/ 2 ’ 
_ ,g + Const. 
a; 2 -f y 2 
Dass diese Functionen £ und l) die gewünschten Formen -|£, 
liefern, geht schon aus ihrer geometrischen Bedeutung hervor, wenn 
L ie, Differentialgleichungen. 27 
Beispiel.