Dritter Typus. 
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Durch die Sätze 2 und 4 des vorigen und dieses Paragraphen 
haben wir einen neuen Beweis hierfür erbracht, wenigstens im Falle 
zweier Veränderlicher. Denn entweder lassen sich U x f und U 2 f auf 
die Formen bringen 
df d£ 
dx’ dy’ 
und dies sind zwei infinitesimale Translationen und die zugehörigen 
endlichen Translationen sind offenbar vertauschbar, oder aber auf die 
Formen 
df df 
dy 7 X dy 
Die endlichen Gleichungen der beiden zugehörigen eingliedrigen Gruppen 
sind hier: 
x x =x, y x = y + t und x x = x + t, y x = y + xt + \ t'\ 
Führen wir zuerst 
X x = X, y x = y + t 
und darauf 
X 2 = x x t, y 2 = y x + x x T -f 
aus, so kommt als Endergebnis: 
x 2 = x-\-t, y 2 = y + t + XX + %T 2 . 
Wenn wir zuerst 
Xl = x-\-t, y x = y + XX + jrT 2 
und darauf 
x 2 — x x? y 2 = y x t 
ausführen, so kommt dasselbe Ergebnis. 
§ 4. Dritter Typus: {U X U 2 ) = U x f und qj x U x f + <p 2 ü 2 f e[e 0. 
Vorgelegt seien zwei infinitesimale Transformationen ü x f und U 2 f 
der Ebene mit verschiedenen Bahncurven, und es sei: 
(u x u 2 )~u x f 
Wir dürfen anuehmen, die Variabein seien schon so gewählt, dass 
ist. Sei: 
so kommt wegen (ü x U 2 ) = U x f: 
oder: 
U f= — 
UJ — dy 
Beduction 
auf die 
dritte cauo- 
nischeForm, 
U f = i — 4- n — 
2 ' ® dx ' ^ dy 
di df_ , dy_ df_ 
dy dx ”* dy dy 
dì _ 
dy 
= 0, 
dri __ 
dy