Vierter Typus. 
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Hieraus lassen sich 
dt) 
dx 
und 
dt) 
berechnen in der Form: 
dy 
|i“«9+ 0, 
= + 9, 
wo a, ß, y, d Functionen von x, y sind. Dies sind zwei simultane 
lineare partielle Differentialgleichungen, aus denen sich bekanntlich £ 
durch Quadraturen finden lässt. (Man vergleiche die in § 5 des 
9. Kap. über ein solches Systems — damals mit (29) bezeichnet — 
gemachten Bemerkungen.) Mau kann die Zahl der hier nötigen Qua 
draturen noch reducieren: Setzen wir nämlich y — Xx, wo A eine 
Constante bedeute, so wird 1) eine Function von x allein und es 
kommt 
Hier ist auch in a, ß, y, d jedes y — Xx zu setzen. Es ist dies dann 
eine lineare Differentialgleichung für ty. Die verkürzte Gleichung 
= + 
besitzt, wie man leicht sieht, die oben bestimmte Function £ als 
Lösung co, wenn nur in ihr y — \x gesetzt wird. Mithin bestimmt 
sich t) durch nur eine Quadratur (vgl. S. 150 oben), allerdings als 
Function von x und der Constanten A. Setzt man dann wieder 
A = so ergiebt sich die gesuchte Function von x und y. 
Satz 7: Stehen zwei infinitesimale Transformationen UJ und UJ 
der Ebene mit verschiedenen Eahncurven in der Beziehung (JJJJf) = UJ } 
so bann man sie vermöge zweier Quadraturen durch Einführung neuer 
Variabein gleichzeitig auf die Formen + 9 bringen. 
5. Vierter Typus; (U x Uf) = UJ und cp i UJ-\-(p 2 UJ=0. 
Wir kommen nun zum letzten Fall: Die beiden infinitesimalen 
Transformationen ÜJ und ÜJ der Ebene sollen dieselben Eahncurven 
haben und in der Beziehung 
{ü x ü 2 )=UJ 
stehen. 
Es darf zunächst UJ= vorausgesetzt werden, 
selben Eahncurven wie UJ haben soll, so ist etwa 
P 2 f= 9 UJ= <>|£, 
Da UJ die- Reduction 
auf die 
vierte cano- 
nische Form.