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Kapitel 18, § 5. Kapitel 19. 
sodass aus (U x ü 2 ) = Ü x f folgt: 
d. h. q = y -J- X(x) und 
Benutzen wir y -f- X(x) als neues y, so bleibt U x f ungeändert, 
Satz 8: Stehen zwei infinitesimale Transformationen U x f und ü 2 f 
der Ebene mit denselben Bahncurven in der Beziehung (UJJ.f) = U t f, 
so kann man immer durch passende Coordinatenwahl beide gleichzeitig 
Noch ist zu untersuchen, wie wir dies in Wirklichkeit durch- 
integraUon führen werden. Es seien also in irgend welchen Veränderlichen x, y 
1: oTdSmg 1 g eSchrieben 
die beiden infinitesimalen Transformationen. Bewiesen ist, dass es 
zwei Functionen £, t) von x, y giebt, sodass: 
und 
wird. Hieraus folgt zunächst 
t) EE q(x, y). 
Zur Bestimmung von £ ergiebt sich, indem wir f=i setzen, nur die 
eine Differentialgleichung: 
die der gewöhnlichen Differentialgleichung 
dx dy 
li = Vi 
äquivalent ist. Ihre Integration würde £ liefern, und £ = Const. 
stellt dann die gemeinsamen Bahncurven von ü x f und U 2 f dar. Somit 
hat sich hier ergeben: 
Satz 9: Stehen zwei infinitesimale Transformationen U x f und ü 2 f 
der Ebene mit gemeinsamen Bahncurven in der Beziehung (U x Uf) = U x f } 
so- verlangt ihre gleichzeitige Beduction auf die Formen ~, d im 
dt) 1 'dty 
allgemeinen die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster 
Ordnung, nämlich der Differentialgleichung der Bahncurven.