Vierter Typus. 
Hiermit sind alle vier Fälle erledigt. Wir haben, um es zu 
sammenzufassen, in diesem Kapitel Folgendes gefunden: 
Theorem 41; Jede zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen 
Transformationen der Ebene lässt sich auf eine der vier cano- 
nischen Formen bringen: 
1) 
K 
dx 7 
K. 
dy 7 
2) 
cf 
dy 7 
cf 
X * 
dy 7 
3) 
cf_ 
dy 7 
df i df 
X -v— -f" V "o— \ 
cx oy 
4) 
df_ 
dy 7 
df 
y dy ' 
Die dazu nötigen neuen Veränderlichen x, 
den drei ersten Fällen stets durch höchstens 
Im letzten Fall dagegen bedarf es der Integration der Diffe 
rentialgleichung der Bahncurven. 
Kapitel 19. 
Integration der gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 
in x, y, welche zwei bekannte infinitesimale Transformationen 
gestatten. 
Jetzt sind wir genügend vorbereitet, um das Problem der Inte 
gration einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche 
mehrere bekannte infinitesimale Transformationen gestattet, wieder in 
Angriff zu nehmen. Wir erkannten mit Hülfe des Satzes 5 und 
Theorems 38 des § 2, 17. Kap., dass wir aus den bekannten infinite 
simalen Transformationen der Gleichung durch blosse Differentiations- 
processe in jedem Falle so viele infinitesimale Transformationen der 
Gleichung ableiten können, dass dieselben eine nach Theorem 39, § 3 
des 17. Kap., höchstens 8-gliedrige Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen bilden. Diese Gruppe enthält nach Theorem 40, § 4 des 
17. Kap., sicher zweigliedrige Untergruppen, und diese lassen sich, wie 
wir sahen, auf rein algebraischem Wege bestimmen. Demnach können 
wir in allen Fällen, in denen uns mehrere infinitesimale Transforma 
tionen der Differentialgleichung bekannt sind, insbesondere voraus 
setzen, dass uns zwei infinitesimale Transformationen der Gleichung, etwa 
ü x f und U 2 f, bekannt seien, die eine zweigliedrige Gruppe bilden, d. h.