426 Kapitel 19, §§ 1, 2. 
für die entiveder (JJ 1 Uf) = 0 oder (U x U 2 ) = U t f ist (vgl. § 1 des 
18. Kap.). 
Hiernach werden wir entsprechend den vier canonischen Formen 
der zweigliedrigen Gruppen nacheinander vier einzelne Probleme be 
handeln. 
§ 1. Sl{x, y, y, y") = 0 gestatte ü x f und ü 2 f, und es sei {TJ x Uf) = 0 
und tpJJJ + cp 2 U 2 f e|e 0. 
Wenn die vorgelegte Differentialgleichung zweiter Ordnung 
y, y, y) = 0 
eine bekannte zweigliedrige Gruppe U x f, U 2 f der ersten canonischen 
Form gestattet, so kann man nach Satz 3, § 2 des vorigen Kapitels, 
vermöge zweier von einander unabhängiger Quadraturen neue Veränder 
liche £, b bestimmen, in denen geschrieben ü x f und U 2 f die Formen 
anuehmen: 
df_ df_ m 
di' dt) ‘ 
Die Differentialgleichung werde dabei etwa in 
t)"— o(e, t), t)') = 0 
umgewandelt. Nunmehr muss sie (vgl. Satz 4, § 1 des 16. Kap.) 
~ und ~ gestatten. Nach Theorem 35, § 3 des 16. Kap., muss 
daher o frei von £ und t) sein. Durch Benutzung der neuen Ver 
änderlichen £, t) erhält demnach die Differentialgleichung die Gestalt: 
b" — co (b') = 0 
und eine Quadratur giebt: 
/4?) = 5 + “ (“ = Const ) 
oder, ausgeführt und nach \f aufgelöst’: 
b' = 9>(£ + a ), 
sodass eine ziveite Quadratur 
b = fcpQc -f- a)dQc -f- a) -f- b (b — Const.) 
ergiebt. 
Satz 1: Gestattet eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 
ß O, y, y\ y") = 0 
zwei bekannte vertauschbare infinitesimale Transformationen mit ver 
schiedenen JBahncurven, so verlangt ihre Integration höchstens vier Qua 
draturen.