Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom ersten und zweiten Typus. 427 
Wir werden später erkennen, dass das Integrationsgeschäft ver 
möge einer anderen Methode sogar nur zwei von einander unabhängige 
Quadraturen verlangt. Allerdings treten dann unter den Integral 
zeichen noch arbiträre Constanten auf. 
In den neuen Veränderlichen £, b geht jede Integralcurve durch 
die Translationen längs der £- und b _ Axe, also durch jede Translation 
überhaupt, wieder in eine Integralcurve über. Die betrachtete Classe 
von Differentialgleichungen ist also dadurch charakterisiert, dass es gelingt, 
ihre oo 2 Integralcurven durch Einführung neuer Variabein in oo 2 ein 
ander congruente und gleichgestellte Curven zu verwandeln. 
§ 2. Si(x, y, y, y") — 0 gestatte U x f und U 2 f, und es sei (U x U 2 ) = 0 
und y x U x f + (p 2 U 2 f = 0. 
Wenn die Differentialgleichung 
&0; V, V , V") = 0 
zwei bekannte infinitesimale Transformationen U x f, U 2 f von der zweiten 
canonischen Form zulässt, so führen wir nach Satz 5, § 3 des vorigen 
Kapitels, vermöge einer Quadratur neue Veränderliche £, l) ein, sodass 
U x f und ü.ff die Formen annehmen: 
cf df 
Wenn die Differentialgleichung durch Einführung von £ und b etwa 
diese Gestalt 
p" - rafe, b') = 0 
Kriteriums in Theorem 35, § 3 des 16. Kapitels, dass ra frei von b 
sein muss. Alsdann giebt die zweite Bedingung, dass ra auch \f nicht 
enthält. Somit lautet die in £, lj geschriebene Differentialgleichung; 
b"— rafe) = 0. 
Sie lässt sich ohne weiteres durch zwei Quadraturen integrieren: 
(a, b = Const.) 
Hier ergiebt sich somit 
Satz 2: Gestattet die Differentialgleichung £l(x, y, y, y") — 0 zwei 
bekannte vertauschbare infinitesimale Transformationen mit denselben Bohn- 
curven, so verlangt ihre Integration höchstens drei Quadraturen. 
Auch in diesem Falle wird die später zu entwickelnde Methode 
zeigen, dass nur zwei von einander unabhängige Quadraturen nötig sind.