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Kapitel 19, § 2. 
ln'Diffgi Beispiel: Sei vorgelegt die lineare Differentialgleichung zweiter 
2. ordn. Ordnung 
V" + X i(%)y' + X (x)y + X 0 {x) = 0 
und seien z 1} z 2 zwei bekannte von einander unabhängige Particular- 
lösungen der sogenannten verkürzten Gleichung 
z' + X t (x)z' + X(x)z = 0. 
Ist dann y irgend eine Lösung der ersteren, so ist auch y -}- c x z x -(- c 2 z 2 
eine Lösung derselben, wenn c 1} c 2 Constanten bedeuten. Mit anderen 
Worten: Die unverkürzte Gleichung gestattet die infinitesimalen Trans 
formationen 
v,f==*(*)§£, 
denn diese erteilen y die Incremente z l dt und z 2 8t Hier ist U 2 ) = 0 
und üif und ü 2 f haben dieselben Babncurven, Es liegt also der 
soeben betrachtete Fall vor. Wir benutzen demnach neue Veränderliche 
£, t), indem wir setzen: 
1 dy dt)’ 
¿2 
df _ df 
Jy = *W 
Es kommt zunächst 1 = -- Ferner kann offenbar t) = — gesetzt 
e i _ _ 
werden. Diese neuen Veränderlichen sind nun in die vorgelegte Dif 
ferentialgleichung einzuführen. Wir wissen, dass sie dann frei von 
und \) werden muss. Es kommt: 
d2- 
Jt = 3_y — *i y 
z 2 z l z. ¿ z v z 2 
W = Gl V — */*«) Gl y" — zfy) — (z 1 y — zfy) Gl zf — Zfzf) 
dx 
Gi — zfz 2 y 
Zl z 3 — Zl z 2 
y 
Zl»2 — «i Z<¿ 
V4^y ,J r 
2 i *2 — *x Z‘2 
GlZ^—zfzff r Gl8»'— lJ ' 
Nun aber ist: 
zf + X v zf -f- Xz x = 0, z 2 + X 2 z 2 ' -f- Xz 2 = 0 
und danach: 
X x = — z - ', ' z - , X 
1 M« — Zl z 2 
Es wird also: 
Zl z 2 — Zj z t 
89 “ 3-t 89 
oder, da 
sein soll: 
y"+X iy '+Xy=-X 0 
// di) # d)C — Zi 3 X 0 (x)