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Kapitel 19, §§ 2, 3, 4. 
Da die Gleichung y" = 0 gerade acht von einander unabhängige 
infinitesimale Transformationen gestattet, so folgt rückwärts, dass eine 
Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche zwei vertauschbare in 
finitesimale Transformationen mit denselben Bahncurven zulässt, ausser 
diesen noch sechs unabhängige infinitesimale Transformationen gestattet. 
§ 3. £l{x, y, y, y") = 0 gestatte U x f und U 2 f y und es sei (U X U 2 ) = U x f 
und <p x U x f + cp 2 U 2 f 0. 
Die vorgelegte Differentialgleichung 
y, y, y") = 0 
soll nunmehr zwei bekannte infinitesimale Transformationen ü x f, U 2 f 
vom dritten Typus gestatten. Wie Satz 7, § 4 des 18. Kapitels, lehrt, 
gelingt es uns alsdann, durch zwei Quadraturen neue Veränderliche 
£, b einzuführen, in denen U x f, U 2 f die Formen haben: 
8f df , . df 
d\)’ £ di + ^ st)' 
Gleichzeitig wird = 0 etwa in die Gleichung 
b" = gj( £ , b, b') 
O n O /» O /» 
verwandelt. Wir wissen dann, dass sie und £ ^ + b gestattet. 
Da sie ^ zulässt, so ist sie nach Theorem 35 frei von b- Ferner, da 
sie £ ^ -{- 1} zulässt, muss nach demselben Satze sein: 
dco 
<D + £ ~ 5= 0, 
e dl ’ 
d. h. 
g lg CO 
^E 
oder, da ca schon von b frei ist: 
ca 
<p(F) 
sodass die Differentialgleichung in den neuen Veränderlichen £, b die 
Form hat: 
<p (F) 
Diese aber ist durch Quadraturen integrabel. Sie lässt sich nämlich 
so schreiben: 
d\)' d% 
«P (V) _ E ’ 
sodass eine Quadratur liefert: 
fd\f 
J 9(9') 
Tr = lg £ + a (a — Const.).