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Kapitel 20, § 4. 
t)" = 0 
annimmt, deren Integralgleichung lautet: 
tj — Const. • £ -f- Const. 
Die Curven lj = Const. sind die Bahncurven von U x f, die Curven 
£ = Const. die von U 2 f und jede infinitesimale Transformation von 
der Form c x Uff -\-c 2 Uff (c x , c 2 = Const.) oder c x -j- c 2 ^ hat offen 
bar Bahncurven von der Form 
b ?= Const. • £ -j- Const., 
d. h.: Im vorliegenden Fall sind die Integralcurven der Differential 
gleichung die cx) 2 Bahncurven aller oo 1 infinitesimalen Transformationen 
der zweigliedrigen Gruppe U x f, ü 2 f von infinitesimalen Transfor 
mationen. 
In diesem Fall ist die Differentialgleichung y"—co(x,y,y') — 0 
sofort integrierbar durch Einführung der canonischen Veränderlichen 
£; b- Da die Bestimmung derselben nach § 2 des 18. Kapitels zwei 
von einander unabhängige Quadraturen erfordert, so sehen wir: 
Wenn y"— co(x, y, y) — 0 zwei infinitesimale vertauschbare Trans 
formationen U x f } U 2 f mit verschiedenen Bahncurven gestattet und 
zwischen Uff Uff und Af eine lineare Relation besteht, so verlangt 
die Integration zwei von einander unabhängige Quadraturen. Damit ist 
der Ausnahmefall, dass die Determinante identisch verschwindet, erledigt. 
In dem soeben besprochenen Fall können die zwei Quadraturen 
sogar auf eine einzige reduciert werden. Wenn eine Relation 
ßi U x f + ß 2 U'f + ccAf = 0 
besteht, so heisst dies nach den geometrischen Auseinandersetzungen 
des § 4, 15. Kap., dass jede Charakteristik von Af=0 für sich im 
Raume (x, y, y') eine infinitesimale Transformation von der Form 
U x f -j- c TJ 2 f gestattet, wo c eine Coustaute ist, die von Charakteristik 
zu Charakteristik eine andere sein wird. Jede Charakteristik von 
Af — 0 wird also eine Bahncurve einer infinitesimalen Transformation 
Uff -f- c Uff sein. Kehren wir nun zur gewöhnlichen Differential 
gleichung 
V— «0; y, y) = 0 
in der Ebene (x, y) zurück, so lehrt dies, dass, wie wir schon oben 
auf andere Weise einsahen, jede der oo 2 Integralcurven dieser Glei 
chung Bahncurve einer gewissen infinitesimalen Punkttransformation 
U x f -j- c U 2 f der Ebene ist. Das Integrationsproblem kommt also 
darauf zurück, diese zu bestimmen. Ist cp eine Invariante von