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Kapitel 20, §§ 4, 5. 
Satz 2: Gestattet eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ord 
nung in x, y: 
«0, y, y, y") = o 
zwei bekannte infinitesimale Transformationen Uff und ü 2 f in x, y, 
für die (ü x Uf) = fff und von denen keine trivial ist, so verlangt die 
Integration der Differentialgleichung höchstens zwei successive Qua 
draturen. 
Die beiden Sätze 1 und 2 können wir noch in folgendes Theorem 
zusammenfassen: 
Theorem 45; Gestattet die gewöhnliche Differentialglei 
chung zweiter Ordnung in x, y: 
W(x, y, y, y) = 0 
zwei bekannte infinitesimale Transformationen fff, fff in x,y, 
die eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transfor 
mationen bilden und von denen keine trivial ist, so verlangt 
die Integration der Differentialgleichung nur ztvei Quadra 
turen. Dieselben sind unabhängig von einander, wenn fff 
und fff vertauschbar sind; 'andernfalls sind sie von einander 
abhängig. 
Man bemerkt, dass dies Ergebnis einfacher ist, als das des 
19. Kapitels, in welchem wir eine nicht so vollkommene Integratious- 
theorie entwickelten. 
§ 5. Beispiele und Ausblicke auf weitergehende Theorien. 
Nunmehr werden wir zu der im vorhergehenden Paragraphen 
entwickelten Integrationstheorie der gewöhnlichen Differentialglei 
chungen zweiter Ordnung mit zwei bekannten infinitesimalen Trans 
formationen eine Reihe von Beispielen geben. 
1. Beispiel: Die Differentialgleichung 
/-Mf(f) = o 
gestattet die beiden infinitesimalen Transformationen: 
f= x V* +x «Ty’ 
U,f=xy rx + f dy - 
Man soll sie integrieren. 
Da (ff ff) = 0 ist und fff und fff dieselben Bahncurven haben, 
so ist die Determinante: