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Kapitel 20, § 5. 
*/'+ XX +X0 L = O, s 2 "+ XX + Xz 2 = 0 
X x und X eliminieren, vermöge einer Quadratur für t) derselbe Wert 
wie oben für — Entsprechend kommt g = — cp, sodass cp = Const., 
if> — Const. wieder als Integralgleichungen hervorgehen. 
3. Beispiel: Man kann, von zwei infinitesimalen Transformationen 
ausgehend, die eine zweigliedrige Gruppe bilden, nach den Differential 
gleichungen zweiter Ordnung fragen, welche diese beiden gestatten. 
Liegen z. B. die beiden infinitesimalen Transformationen vor: 
TT df . df 
U *f=d^ + X ¥y’ 
wo (U x ü 2 ) = 0 ist, so verfährt man so: Nach § 5 des 15. Kapitels 
suchen wir die Form einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, 
welche U x f gestattet. Zu dem Zweck erweitern wir ü x f einmal und 
bilden die lineare partielle Differentialgleichung in x, y, y : 
deren Lösungen x und y sind. Nach dem Früheren hat folglich 
die allgemeinste Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche ü x f ge 
stattet, die Form 
oder 
y"= y)- 
Nun soll sie noch ü 2 f gestatten, d. h. es soll der Klammerausdruck von 
und 
ein Vielfaches von Af sein. Es kommt: 
d. h. o ist eine Function von x — y allein. Daher lautet die Differen 
tialgleichung : 
y"— a(x — y) = 0. 
Da sie zwei infinitesimale vertauschbare Transformationen U x f, U 2 f 
gestattet, und da die Determinante A von U x f, TJ 2 'f und Af nicht 
Null ist, so lange nicht o = 1 ist, so verlangt ihre Integration zwei 
von einander unabhängige Quadraturen, nämlich