Beispiele und Ausblicke auf weitergehende Theorien, 
471 
Während der Integration ist hierin cp als Constante zu behandeln. 
Durch Elimination von y aus cp = Const., = Const. ergiebt sich 
die gewünschte Gleichung unserer Curvenschar. 
6. Beispiel: Alle Curven werden gesucht, längs deren das Ver 
hältnis aus Krümmungsradius p und Radiusvector r eine gegebene 
Function des Winkels &, den r und q bilden, ist. Diese Curven sind 
definiert durch eine Gleichung 
0. 
Offenbar wird jede derartige Curve durch eine Rotation 
df , df 
y 4- x -~- 
v dx 1 oy 
in eine solche Curve übergeführt, ebenso durch eine Ähnlichkeits 
transformation 
Da 
TT . df , df 
ü J= x fro + y frj 
r = Y*F+f, + 
. ~ x 4- yy’ 
tg & = ^ 
° y — X V 
ist, so hat die Differentialgleichung der Curvenschar die Form 
i/(i + y'y. „ ( x + yy] = 0 
j r X 2 -j- y 2 'xy — y! 
Sie gestattet UJ, U 2 f, und es ist (JJ x l7 a ) = 0. Ferner haben wir hier: 
A f— n + v ' % + FÄirÄ “ W’ 
+ + d + 2/'*)|- 
TT'r— Vf . df 
U 2 f— x + y fiyi 
d x 
und es ist die Determinante 
1 ✓ V s #? ■ 
+ y 2 
i + y* 
1 
—y X 
x y 
im allgemeinen verschieden von Null. Demnach reduciert sich die 
Integration auf die beiden von einander unabhängigen Quadraturen