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Kapitel 21, § 1. 
ist. In entsprechender Weise werden wir in diesem Kapitel die 
Klammerausdrücke bei den dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen 
Transformationen auf einfache typische Form zurückführen. Dabei 
müssen wir aber zuvörderst einige wichtige allgemeinere Begriffe be 
sprechen. 
§ 1. Begriff der Zusammensetzung und Begriff der invarianten 
Untergruppen einer Gruppe von infinitesimalen Transformationen. 
Unter einer Gruppe von infinitesimalen Transformationen ver 
stehen wir nach § 4 des 17. Kapitels eine Schar von infinitesimalen 
Transformationen von dieser Art: Ist sie r-gliedrig, so enthält sie r 
von einander unabhängige infinitesimale Transformationen U x f, U 2 f••• U, f 
und mit diesen auch jede infinitesimale Transformation von der Form 
c i Uif + c 2 U. 2 f + •••-{- c r Urf, 
in der c 1} c 2 • • ■ c r irgend welche constante Werte haben. Ferner ist 
jeder Klammerausdruck zwischen zwei infinitesimalen Transformationen 
der Gruppe wiederum eine infinitesimale Transformation derselben, d. h, 
linear mit constanten Coefficienten durch UJ', U 2 f • • • TJ r f ausdrückbar. 
Dazu ist offenbar notwendig und hinreichend, dass dies für die r in 
finitesimalen Transformationen UJ • • • U r f selbst eintrifft, d. h. dass 
jedes (UiUk) die Form hat: 
r 
(1) 
i 
(/,* = 1, 2 • ■ • r). 
Dies tritt z. B. ein bei den drei infinitesimalen Transformationen 
in x, y: 
UJ = p + q, U 2 f = xp -j- yq, U 3 f=x 2 p -f y 2 q, 
denn hier ist: 
{UJftssüJ, (D 1 Ü S ) = 2 ü,f, (U i ü t )=U,f, 
d. h. es ist hier: 
Mithin bilden die infinitesimalen Transformationen 
Clip + ff) + c 2 {xp -f yq) + c 3 (x 2 p + y 2 q) 
oder: 
(G + c 2 x + c 3 x 2 )p + (q -f c 2 y + c 3 y 2 )q 
in ihrer Gesamtheit eine dreigliedrige Gruppe.