Begriff der Zusammensetzung und Begriff der invarianten Untergruppen. 475 
An Stelle der r infinitesimalen Transformationen TJ x f • • • U r f 
können wir irgend welche r von einander unabhängige infinitesimale 
Transformationen der Gruppe, etwa: 
U x f = y n U x f + • • • + yirUrf, 
U 2 f = y 21 U 2 f + • • • + 72rü r f, 
(2) 
U r f = YriU 1 f +•••-{- YrrUrf 
benutzen, in denen die y irgend welche Constanten bedeuten, deren 
Determinante 2J + y lx y 22 • • • JVr =%= 0 ist. Alsdann treten an Stelle 
der Relationen (1) andere. Es ist ja: 
r r 
1 
d. h. nach (1): 
r 
r 
r 
1 
und hieraus können wir die U s f, die sich nach (2) linear mit con 
stanten Coefficienten durch die Uf ausdrücken lassen, entfernen, 
sodass sich schliesslich zu (1) analoge Relationen ergeben: 
r 
{ü,ü„) = %yM 
Man sieht also, dass durch Benutzung anderer r von einander unab 
hängiger infinitesimaler Transformationen der Gruppe die Relationen 
für die Klammerausdrücke abgeändert werden können, und es stellt 
sich damit das Problem, in einem vorliegenden Falle solche infinitesimale 
Transformationen der Gruppe auszuwählen, dass diese Relationen eine 
möglichst einfache Gestalt . annehmen. Dies Problem haben wir für 
zweigliedrige Gruppen ü x f, U 2 f schon in § 1 des 18. Kapitels erledigt. 
Wir erhielten dort die beiden Formen (U x Uf) eee 0 und (U x U 2 )=U x f. 
Dasselbe Problem werden wir nachher für dreigliedrige Gruppen er 
ledigen. 
Wir sagen, dass die Coefficienten c iks in den Relationen (1) die Zl ^JJ£® n ' 
Zusammensetzung der r-gliedrigen Gruppe vorstellen, ihre Kenntnis e ^ ne p*ruppo 
zieht die der Relationen (1) selbst nach sich. Das zu erledigende 
Problem ist also dies: Alle möglichen Zusammensetzungen von drei 
gliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen auf möglichst 
einfache typische Formen zu bringen.