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Kapitel 21, § 1.
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Invariante
Unter
Hierbei wird sich der schon in § 4 des 17. Kapitels eingeführte
Begriff der Untergruppen als nützlich erweisen, den wir kurz recapitu-
lieren: Wir sagen, dass in der Gruppe U\f • • • U r f etwa U x f •• • U Q f
eine p-gliedrige Untergruppe bilden, sobald jeder Klammerausdruck
zwischen U x f • • • Uqf allein sich linear mit constanten Coefficienten
durch U x f • • • U Q f allein ausdrücken lässt, d. h. sobald U x f • • • U Q f
für sich eine Gruppe bilden.
Insbesondere nennen wir diese Untergruppe U x f ■ • • U Q f eine in-
gruppe. var i an f e Untergruppe, wenn auch die Klammerausdrücke dieser U x f ••• U Q f
mit allen U x f • • • U r f sich linear mit constanten Coefficienten durch
U x f••• Udf allein darstellen lassen. In der oben als Beispiel an
gegebenen dreigliedrigen Gruppe
p + q, xp + yq, x 2 p + y 2 q
ist offenbar
P + q, xp -f yq
eine zweigliedrige Untergruppe, denn ihre Klammeroperation giebt
p -f- q. Ebenso ist
xp + yq, x 2 p + y 2 q
eine zweigliedrige Untergruppe. Dagegen ist
P + q, x 2 p -f- y 2 q
keine Untergruppe, denn ihr Klammerausdruck giebt 2xp + 2yq und
diese infinitesimale Transformation lässt sich nicht linear mit con
stanten Coefficienten durch p -J- q und x 2 p -j- y 2 q ausdrücken. Keine
der beiden angegebenen Untergruppen ist übrigens eine sogenannte
invariante Untergruppe.
Dagegen besitzt die dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen
Transformationen in zwei Veränderlichen x, y:
p, q, xq,
wo
0, q) = 0, {p, xq) = q, (q, xq) = 0
ist, zweigliedrige invariante Untergruppen, nämlich die von der Form:
q, p -f- axq.
Hierin bedeutet a irgend eine Constante. In der That ist
(q, p) = 0, (g, q). = 0, (g, xq) = 0;
CP + axq, P)= ~ aq, {p -f- axq, q) = 0, (p -f axq, xq) = q.
Liegt eine r-gliedrige Gruppe von infinitesimalen Transforma
tionen U x f ■ • • U r f vor, so ist leicht einzusehen, dass die (UiUk), die
ja auch infinitesimale Transformationen der r-gliedrigen Gruppe sind,
für sich eine invariante Untergruppe bilden. Es giebt nämlich jedes
