478 
Kapitel 21, §§ 1, 2. 
Wenn wir nun zu jeder beliebigen infinitesimalen Transformation 
p aq unserer zweigliedrigen Gruppe die zugehörige eingliedrige 
Gruppe von endlichen Transformationen aufsuchen, so haben wir a 
beliebig zu lassen, und wir haben also oo 1 Scharen von je oo 1 end 
lichen Transformationen, also insgesamt oo 2 endliche Transformationen 
von obiger Form, in denen t und a willkürliche Parameter sind, und 
die sich daher auch in der Form schreiben lassen: 
x t = x + a, y l =y-\-ß. 
Diese oo 2 Transformationen bilden, wir wir wissen, eine Gruppe von 
endlichen Transformationen und zwar eine zweigliedrige. (§ 1 des 1. Kap.) 
Der zweite Typus von zweigliedrigen Gruppen von infinitesimalen 
Transformationen der Ebene war dieser: 
q, xq. 
Hier lautet die allgemeine infinitesimale Transformation: 
q + axq, 
und die von ihr erzeugte eingliedrige Gruppe von endlichen Trans 
formationen stellt sich so dar: 
x x — x, y x = y + (1 -f- ax) t. 
Lassen wir a alle möglichen constanten Werte annehmen, so ergeben 
sich oo 2 endliche Transformationen, die sich auch so schreiben lassen: 
x x =x, y x = y + cc + ßx. 
Dieselben bilden eine zweigliedrige Gruppe, denn eliminieren wir x x , y x 
vermöge dieser Gleichungen aus den Gleichungen: 
^2 = X x , y 2 = !/! + «! + ßx X x , 
so kommt: 
x 2 = x, y 2 = y + (cc + a x ) + (/3 + ßi)x. 
Der dritte Typus war dieser: 
q, xp + yq, 
und hier lautet die von der allgemeinen infinitesimalen Transformation 
q + a(xp + yq) 
erzeugte eingliedrige Gruppe von endlichen Transformationen: 
e at — 1 
x x — xe at 7 y x — ye at -| 
Hierin lassen wir wieder die Oonstante a variieren und erhalten 
dadurch oo 2 Transformationen, die sich auch schreiben lassen: 
x x = ax, y x = ay + ß. 
Offenbar stellen sie eine zweigliedrige Gruppe von endlichen Transfor 
mationen dar.