Erster Typus von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 479 
Ganz ähnlich ergiebt sich beim vierten Typus 
q, yq. 
mit der allgemeinen infinitesimalen Transformation 
q + a m 
die zweigliedrige Gruppe von endlichen Transformationen 
e at — 1 
Xi = x, y x = ye at -f -—-— 
oder anders geschrieben: 
Vx = W + ß- 
Ähnlich verhält es sich nun, wie wir ohne Beweis angeben, bei 
jeder Gruppe von infinitesimalen Transformationen, Bilden U x f-'-ü r f 
eine r-gliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen, so ist 
U x f -f- a 2 + « 3 UJ +•••-(- a r U r f 
die allgemeine infinitesimale Transformation derselben, wenn a 2 , a 3 • • • a r 
irgend welche Constanten bedeuten. Diese infinitesimale Transformation 
erzeugt eine gewisse eingliedrige Gruppe von endlichen Transforma 
tionen mit einem Parameter t. Die Gleichungen derselben enthalten 
a 2 , a 3 - ■ • a r und lauten etwa, wenn x x • • • x n die in den Uf ver 
kommenden Veränderlichen sind: 
' cpi( l (ic x * • • oCji, a 2 * • * a^, t) == i»2 • • • w), 
Variieren wir hierin nicht nur t, sondern auch a 2 , % • • • a ry so ergeben 
sich oo r endliche Transformationen und dieselben bilden eine r-gliedrige' 
Gruppe, wie man allgemein beweisen kann. 
Hiernach wird es der Leser gerechtfertigt finden, dass wir den 
Begriff einer r-gliedrigen Gruppe von infinitesimalen Transformationen 
eingeführt haben. 
§ 2, Erster Typus von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 
Wir gehen nunmehr daran, alle Zusammensetzungen von drei 
gliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen Upf, U 2 f U 3 f 
zu bestimmen. Dabei kümmert uns zunächst die Zahl der Veränder 
lichen, die in der Gruppe Vorkommen, gar nicht. 
Nach den Bemerkungen des vorigen Paragraphen können wir das 
Problem in die folgenden einzelnen zerlegen: Alle Zusammensetzungen 
von dreigliedrigen Gruppen zu bestimmen, deren erste derivierte Gruppe 
dreigliedrig (d. h, sie selbst ist) oder zweigliedrig oder eingliedrig 
oder nullgliedrig ist. Im gegenwärtigen Paragraphen erledigen wir 
den ersten Fall.