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Kapitel 21, § 2. 
Die erste 
derivierte 
Gruppe sei 
eingliedrig. 
Vorausgesetzt wird also, dass U x f, U 2 f, U 3 f eine eingliedrige 
Gruppe bilden, d. h. dass (U t U 2 ), (U a ) und (U 2 U 3 ) sich linear mit 
eonstanten Coefficienten durch U t f, U 2 f und U 3 f selbst ausdrücken 
lassen und dass diese drei Klaminerausdrücke drei von einander unab 
hängige infinitesimale Transformationen seien. Wir werden auf zwei 
Wegen erkennen, dass sich die Zusammensetzung einer solchen Gruppe 
immer durch passende Auswahl dreier von einander unabhängiger 
aus der Schar der infinitesimalen Transformationen 
Const. U x f -f- Const. U 2 f -j- Const. U s f 
auf eine gewisse canouische Form bringen lässt. 
Der erste Weg, um dies zu beweisen, ist rein elementar. Der 
zweite, elegantere, setzt die Kenntnis homogener Punkt- und Linien- 
coordinaten in der Ebene, sowie einige Sätze aus der projectiven 
Geometrie voraus und ist deshalb von Wichtigkeit, weil er typisch 
ist für die Bestimmung von Zusammensetzungen von Gruppen überhaupt. 
^Eefduction r Zunächst schlagen wir den elementaren Weg ein: Nach Theorem 40 
(§ 4 des 17. Kap.) gehört jede infinitesimale Transformation der Gruppe, 
also etwa wenigstens einer zweigliedrigen Untergruppe an und 
diese kann, wenn U 2 f eine von U ± f unabhängige Transformation der 
selben ist, nach Satz 1, § 1 des 18. Kapitels, auf eine der beiden Formen 
(0.0,)= O./, (0.0,) = 0 
gebracht werden. Der zweite Fall ist auszuschliessen, da (U X TJ 2 ), 
( Ui Dj) und ( U 3 ) drei von einander unabhängige infinitesimale Trans 
formationen sein sollen. Wir nehmen daher an 
(0.0,)= O./. 
Sei nun etwa 
( O. U 3 ) = «. O. f + U t f + «3 U,f, 
(0, P.) = ß l UJ+ ft U,f + ft U,f, 
wo die a und ß Constanten bedeuten. Wir wenden auf U t f, U 2 f } U 3 f 
die Jacobi’sche Identität, die wir in § 4 des 10. Kapitels kennen 
lernten, an. Es ist danach 
(№£4)0,) + ((0,03)0.) + ((o s o.)o,) = o, 
also, wenn wir ausrechnen: 
cc 1 U ± + U 2 -(- ß 3 ü 3 — ß 2 U t — ß 3 («i -j- cc 2 U 2 + a 3 U s ) — 
“ «i -f- «a(ßi Di + Ai ü 2 + ß 3 U 2 ) = 0 
oder, da zwischen ü x f, U 2 f, U 3 f keine lineare Relation mit con 
stanten Coefficienten besteht: 
«s = 0, — ß 2 — ß 3 cc l =0, a 2 (l ß 3 ) = 0.