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Kapitel 21, § 2. 
Beispiele hierzu sind in einer und in zwei Veränderlichen diese 
drei Gruppen: 
p, xp, x 2 p\ 
2(P + xq), xp + %yq, (x 2 — y)p + xyq\ 
P + b X P + УЪ x 2 p + y 2 q. 
der^ociuc- Nunmehr betreten wir zum Nachweis jener Zusammensetzung den 
tio r. au £ clie 'zweiten, eleganteren Weg. 
selbe Form. 7 ö o 
Dabei bedienen wir uns einer eigentümlichen, in der Gruppen- 
“Tais'theorie äusserst fruchtbaren geometrischen Deutung. Wir wollen nämlich 
Punkte der der allgemeinen infinitesimalen Transformation 
Ebene. ° 
-f- CC 2 JJ 2 cc 3 TJ 3 
unserer dreigliedrigen Gruppe U 1} U 2 , U 3 als Bildpunkt einen Punkt 
in einer Ebene zuordnen, der, bezogen auf ein Coordinatendreieck, die 
homogenen Coordinaten a i , a 2 , a 3 hat. Hiernach wird jede infinitesi 
male Transformation der Gruppe symbolisch durch einen Punkt dieser 
Ebene dargestellt, und umgekehrt entspricht jedem Punkte dieser 
Ebene mit den homogenen Punktcoordinaten a lf a 2 , a 3 eine infinitesi 
male Transformation 
Ul -f- ci 2 U 2 -f- « 3 U 3 
• 
der Gruppe. Da die homogenen Coordinaten nur ihren Verhältnissen 
nach bestimmt sind, so wird dem Punkte (%, a 2 , a 3 ) zwar auch jede 
infinitesimale Transformation von der Form 
Ä { a x D x -j- a 2 ü 2 -j- a 3 U 3 ) 
zugeordnet sein, aber diese sind wir schon gewöhnt als mit der obigen 
identisch anzusehen, da sie sich von ihr nur um einen coustanten 
Factor k unterscheidet. 
Es ist ohne weiteres einzusehen, dass dreien von einander unab 
hängigen infinitesimalen Transformationen die Ecken eines wirklichen 
Dreiecks, dreien von einander abhängigen aber drei Punkte einer Geraden 
entsprechen. 
Durch die Klammeroperation wird zwei infinitesimalen Trans 
formationen 
a i U x + a 2^ 2 + U 3 , ßi Ui + ß-2 U 2 + ß ä U 3 
wegen der Relationen 
(3) (Ui Uk) = Cat U, + etnU, + U 3 
(i, Je = 1, 2, 3)' 
eine dritte infinitesimale Transformation