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Kapitel 21, § 2. 
cciß 2 — cc 2 ß u c( 2 ß 3 — cc 3 ß 2 , cc^ß^ — a^, 
und die Punktcoordinaten s 1} s 2 , e 3 des dieser Geraden zugeordneten 
Punktes drücken sich nach (4) linear und homogen durch dieselben 
äus. Die Determinante dieser Ausdrücke ist diese: 
C 121 
C 122 
C 123 
G 23 
C 121 
G 22 
A = 
C 231 
C 232 
C 233 
= 
C 233 
C 231 
C 232 
C 311 
C 3I2 
C 313 
C 313 
C 311 
C 312 
Wir wollten nun nur den Fall im vorliegenden Paragraphen ins Auge 
fassen, in welchem 
i ( ^4 ^4) = C 121 ^4 “h C 122 ^4 “1“ G.23 U 3 , 
iß) j ( ^4 ^4) = C 2.31 ^4 C 232 U 2 -f“ C 2 33 ^4 > 
1 ( U 3 Uß) = c 3l j C4 -f- c 312 IJ 2 -f- c 313 ü 3 
von einander unabhängig sind, d. h. die Determinante 
z/=j=0 
ist. 
Benutzen wir die Jacobi’sche Identität: 
(( U, U,) UÙ + (( u, U B ) n.) + ((U,üdU,) = 0, 
so liefert sie nach (3'): 
3 3 3 
V.U,) + ’^•c a .{U.U i ) + U.v,) = 0 
1 1 1 
oder, da ( Uiüi) = 0 und (ü. Ui) = — (ZT* üß ist: 
( C 122 C 3is) ( ^4 ^4) “h ( C 233 C 12l) ( ^3 ^4) ~f~ ( C 311 C 232) ( ^4 ^4) — 0- 
Da nun (Ü 2 U 3 ), (U 3 Uj) und (Î4C4) nac h Voraussetzung von einander 
unabhängig sind, so folgt, dass einzeln 
C 122 = C 313J C 233 = C 121> C 311 == C 232 
ist. Mithin ist auch die Determinante A symmetrisch. 
Die projective Geometrie lehrt, dass hieraus folgt, dass die durch 
(4) hergestellte Zuordnung von Gerade und Punkt die durch einen 
(nicht ausgearteten) Kegelschnitt vermittelte Beziehung zwischen Polare 
und Pol ist. 
In der Bildebene existiert also ein gewisser Kegelschnitt von der 
Art, dass der Bildpunkt des Klammerausdruckes aus zwei infinitesi 
malen Transformationen der Gruppe der Pol der Geraden ist, welche 
die Bildpunkte dieser beiden letzteren infinitesimalen Transformationen 
verbindet. Die Gleichung dieses Kegelschnittes lautet übrigens nach 
den Lehren der projectiven Geometrie in den homogenen Punkt 
coordinaten £ ( , j a , l 3 :