Die übrigen Typen von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 
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annehmen. Daun müssen sich (U 2 U 3 ) und (U 3 JJi) linear mit cou- 
stauteu Coefficienten durch JJ t und U 2 ausdrücken, d. h, es ist: 
(P.££) =c m U„ 
( U 2 U 3 ) = C 231 U t -f- c 2 32 U 2} 
(U 3 U^) — c 311 U x 4~ c Si2 U 2 . 
Die Jacobi’sche Identität 
mu 2 )u 3 ) + {{U 2 U 3 )U X ) + ((U 3 U x ) U 2 ) = o 
liefert nun: 
C 12 l( C 311 ^4 C 312 U 2 ) + C 232 ( C 121 Ul) 4~ c 31i c vnül ^ 
oder also: 
C 232 C 121 = C 312 C 12l ~ 
Wäre c m 4= 0, also c 232 — c 312 = 0, so würden in 
^121 
C 231 
l 232 
^311 ^312 
alle zweireihigen Uuterdetermiuanten verschwinden, was der Voraus 
setzung zuwiderläuft. Also ist c 12X = 0 und 
(u x u 2 ) = o, 
während die Determinante 
ist. 
u 311 
Bedeuten nun x und A zwei 
C 232 
C 312 
Constanten, so ist 
№ + №„ u 3 ) = >i(u,u 3 ) + 
= ( y.Cg, 1 4" ^ C 23l)Ui H“ ( Kc sn H" ^ C 2S2)^2> 
und dies lässt sich wegen des Nichtverschwindens der vorstehenden 
Determinante durch passende Wahl der beiden nicht gleichzeitig ver 
schwindenden Constanten x, A immer auf die Form 
a(xü x + A U 2 ) 
bringen. Diese Forderung führt nämlich zu den Bedingungen: 
x ^311 -f- Xc 231 — CCX, ^^312 4" ^ C 232 — 
Es sind dies zwei lineare homogene Gleichungen für x, A, welche 
nur dann nicht-verschwindende Werte für x, A liefern, wenn ihre 
Determinante 
C 311 a C 231 , __ q 
C 312 C 232 a 1 
ist. Dies aber ist eine quadratische Gleichung für a, welche sich 
immer durch passende Wahl von a erfüllen lässt. Da bisher JJ X und