Die übrigen Typen von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 
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(Ws 0, 
(tW)= Ul, 
{U 2 U,)= U, + cU iy 
wo c =J= 0 ist. Noch können wir c U y als neues Z7, benutzen, und 
dadurch geht der Typus hervor: 
(Uj U 2 ) = 0 (2^)=% (u,u 3 )=u l + u 2 \, 
der sich nicht auf den vorher gefundenen zurückführen lässt. Ein 
Beispiel hierzu ist die dreigliedrige Gruppe in x, y: 
P, <1, 0 x + V)P + M- 
Wir sind also zu zwei verschiedenen Typen gelangt und heben 
noch hervor, dass sich die Gonstante c im ersten nicht durch passende 
Wahl der infinitesimalen Transformationen 27,, U 2 , U ä specialisiereu 
lässt. Nur lässt sich dadurch, dass man 
ü t -u t , Ut-u» u = ~u 3 
setzt, jene Zusammensetzung überführen in: 
(üiü,)=0, (ö;p 3 )= u„ (UM = ~ü t , 
also c in y verwandeln. Je zwei jener Zusammensetzungen sind also 
in einander überführbar, mit Ausnahme derjenigen, für die c = —, 
d. h. c = + 1 ist. 
Wir wollen nunmehr annehmen, für unsere dreigliedrige Gruppe 
U JJ 2} JJ 3 seien alle zweireihigen Unterdeterminanten von ¿1 gleich 
Null, während nicht alle Glieder der Determinante einzeln verschwinden. 
Es sollen sich also (Z7,Z7 2 ), (27 3 27 3 ), (27 3 27,) alle durch eine einzige 
infinitesimale Transformation, die wir als U x benutzen, darstellen 
lassen und nicht sämtlich verschwinden, d. h. die erste derivierte Gruppe me erste 
derivierte 
soll einqliedriq sein. In diesem Falle ist: Gruppe sei 
" ' eingliedrig. 
(ü\U t ) = «U„ №17,)== ßü,, {U,U,) = rUi 
und cc, ß, y verschwinden nicht sämtlich. Die Jacobi’sche Identität 
liefert hier für a, ß, y keine Bedingungen. Wohl aber können wir 
durch passende Einführung von xU 2 -j- als neues U 2 erreichen, 
dass insbesondere (U x U 2 ) ~ 0, d. h, a — 0 wird. 
Ist dann ß 4= 0, so setzen wir nachträglich 
U 3 = U 3 — -j u t 
und erhalten