Typen der dreigl. Gruppen, deren erste derivierte dreigl. sind. 493 
Mithin hat unsere Gruppe in der Gestalt: 
Ui = (1 — ifÖP, U 2 = (i — y)p, U 3 = - ixyp — ¿(1 + ?/) q 
die gewünschte Form. Sie gehört zum Typus 2 des Satzes 1. 
Kapitel 22. 
Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Gruppen von infinitesi 
malen Transformationen in zwei Veränderlichen. 
Die Bestimmung aller möglichen Zusammensetzungen von drei 
gliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen, die im 21. Ka 
pitel durch Reduction derselben auf gewisse typische Formen geleistet 
wurde, war, wie bemerkt, ganz unabhängig von der Zahl der Ver 
änderlichen. Gleichwohl haben wir damals jeder typischen Form als 
Beispiel eine derartige Gruppe in zwei Veränderlichen hinzugefügt. 
Jetzt werden wir in systematischer Weise alle dreigliedrigen Gruppen 
von infinitesimalen Transformationen in zwei Veränderlichen x, y, also 
in der Ebene, dadurch bestimmen, dass wir alle derartigen Gruppen 
der Ebene von den gefundenen sechs Zusammensetzungen durch Ein 
führung zweckmässiger neuer Variabein auf möglichst einfache, von 
arbiträren Grössen freie Typen zurückführen. 
Es ist dann klar, dass sich jede dreigliedrige Gruppe der Ebene 
durch passende Auswahl der infinitesimalen Transformationen und 
passende Wahl des Coordinatensystems auf eine der zu findenden 
Formen zurückführen lassen muss. 
§ 1. Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Gruppen der 
Ebene, deren erste derivierte Gruppen dreigliedrig sind. 
Es handelt sich zunächst um die Bestimmung der betreffenden 
Gruppen von der Zusammensetzung 1 des Satzes 1 (§ 3 des 21. Kap.): 
(Dliö=-Oi, (U t U,) = 2TT„ (UM) = U S . 
Nach § 4 des 18. Kapitels lässt sich die zweigliedrige Gruppe,Erster ran 
welche hier Tf und TJ% bilden, durch Benutzung zweckmässiger Va- Taben 2 
riabeln auf die Form bringen: Bahncurven. 
u x =P, ü.\ = xp + yq, 
sobald U x und U 2 , wie wir zunächst aunehmen, verschiedene Bahu- 
curven haben. Ist daun: