Die übrigen Typen von dreigliedrigen Gruppen der Ebene. 
U 3 = | p + rjq, 
so haben wir wegen (U t U 3 ) = TJ t und zu verlangen: 
Hiernach ist 
sodass 
wird. Da die Gruppe schon U t = p und U 2 = q enthält, so können 
wir statt U> einfach: 
TJ 3 — aü x — hU 2 = xp -{- cyq 
benutzen, sodass sich der Typus ergiebt: 
d. h. 
also 
Haben aber U t und TJ 2 dieselben Bahncurven, so können wir 
wegen (£/,£7,)= 0 nach § 3 des 18. Kapitels annehmen: 
U x = q, ü 2 ~xq 
und haben, wenn 
u 3 = %p + nq 
ist, zu fordern: 
£ = (1 — c)x, fi = y + 
Daher lautet der Typus zunächst so: 
q, xq, (1 — c)xp + {y + <p(x))a- 
Führen wir y -j- if>(x) statt y ein, wobei ifj die Gleichung 
(1 — c)x^\x) -{- <P — ^ 
erfüllen soll, so kommt: 
Man sieht, dass der Fall c = 1 besonders ausgezeichnet ist, denn nur 
Die, Differentialgleichungen. 32