oo {x, y, a,h) = 0 
Wir haben ja nur c,, c 2 , c 3 so zu bestimmen, dass 
c i U t co -f c 2 ü A co -f c 3 U 3 co = 0 
für alle Punkte (x, y) der Curve wird, d. h. wegen der obigen Werte 
von JJ X tu, U 2 co, U 3 co haben wir c u c 2; c 3 so zu bestimmen, dass 
dt 1 2 St 
Es lassen sich aber stets solche Constanteu c lf c 2 , c s angeben, 
denn ^ u. s. w. sind ja sämtlich bestimmte Zahlen. Unter den in- 
O t 
finitesimalen Transformationen der dreigliedrigen Gruppe giebt es also 
sicher mindestens eine, welche eine beliebig ausgewählte, aber be 
stimmte Integralem*ve invariant lässt, d. h.: 
Satz 1: Gestattet die Differentialgleichung zweiter Ordnung 
V, V, y") = 0 
eine dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen in x, y, 
so ist jede Integrolcurve lei mindestens einer infinitesimalen Transfor 
mation der dreigliedrigen Gruppe invariant. 
Auch aus diesem Satze kann man schliesseu, dass die beiden 
dreigliedrigen Gruppen 
<h y<D y 2 T, 
q, xq, X(x)q 
keine Differentialgleichung zweiter Ordnung invariant lassen. Denn 
die erste hat nur oo 1 Bahncurven x = Const. und ausser diesen bleiben 
nur gewisse Geraden y = Const. bei irgend einer infinitesimalen Trans 
formation der Gruppe invariant, sodass also keine oo 2 solche Curveu 
existieren, deren jede wenigstens eine der infinitesimalen Transforma 
tionen zulässt. Die zweite Gruppe besitzt die oo 1 Bahncurven x — Const. 
und ausser diesen giebt es keine Curve, welche irgend eine ihrer in 
finitesimalen Transformationen gestattet 
des § 3 des Kap. 22 gemachte Bemerkung in etwas anderer Weise 
begründet, als dort geschehen. 
Handelt es sich nun darum, eine vorgelegte Differentialgleichung z d e 0 r s le iu t “? 
zweiter Ordnung 
y, y, y) = 0 
zu integrieren, welche eine bekannte dreigliedrige Gruppe von infini 
tesimalen Transformationen U x f\ U 2 f, U s f gestattet, so bietet sich die