df 
wo 2 =07» 
Ordnung 
W{x,y,y') = 0 
fragen, welche £7,, CZj und £7¡ gestatten. Für diese müssen 
Ü’.'TT; 
. dW 
+ 
dW 
+ 
r 
dw 
,:l dx 
Vt 
dy 
Vi 
dy' 
. dW 
+ 
dW 
+ 
/ 
dW 
’ 2 dx 
% 
dy 
% 
dy 
. dW 
+ 
dW 
dW 
* 3 dx 
% 
dy 
+ 
% 
dy' 
0 verschwinden, d. h. es muss, da 
nicht sämtlich vermöge W — 0 verschwinden oder wenigstens 
sämtlich vermöge W 
dW 
-5—- ment samuicn vermo ft , 
oy ö 
FF — 0 immer so geschrieben werden kann, dass dies vermieden wird, 
die Determinante 
Éi Vi Vi 
la % %' 
3 % 
sein vermöge FF = 0. Ist sie nun nicht identisch Null, so muss 
4 = 0 völlig die Gleichung FF = 0 ersetzen, d. h. 4 — 0 ist die 
gesuchte Differentialgleichung erster Ordnung. 
Mau kann nun umgekehrt beweisen, dass 4 — 0 immer die drei 
gliedrige Gruppe U x f, Uff, U s f gestattet. Doch brauchen wir diesen 
Satz nicht. Es genügt, durch Nullsetzen der Determinante überhaupt 
ein Mittel zu haben, alle eventuell existierenden invarianten Differential 
gleichungen erster Ordnung zu finden. Zerfällt 4 in einzelne Factoren, 
so kann man in einem concret vorliegenden Fall, 'wie dies unten ge 
schehen wird, immer verifizieren, dass jeder Factor gleich Null ge 
setzt eine invariante Differentialgleichung erster Ordnung darstellt, 
vorausgesetzt, dass er y enthält. Doch entgeht bei dieser Ableitung 
unter Umständen eine invariante Differentialgleichung der Aufmerk 
samkeit, nämlich die der oo 1 Geraden x — Const. mit der Gleichung 
i = 0. 
y 
Es liegt dies in einem Mangel des Oartesischen Coordinatensystems, 
In jedem Fall ist also noch besonders zu untersuchen, ob die Schar 
x — Const. invariant bleibt. Dies tritt dann und nur dann ein, wenn 
die Incremente von x sämtlich nur von x abhängen.