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Kapitel 23, § 2. 
Beispiele. 
Nach einem allgemeinen Satze, den wir jedoch hier nicht ent 
wickeln, ist dies bei jeder Annahme der Fall. 
1. Beispiel: Man soll die dreigliedrige Gruppe 
x 2 p + q, — xp + yq, p + y 2 q 
auf ihre canonische Form bringen. Da ihre erste derivierte drei 
gliedrig ist, muss sie sich auf Typus 1 oder 2 reducieren lassen. Die 
Determinante aus den erweiterten infinitesimalen Transformationen 
lautet: 
x 2 1 —• 2 xy' 
—x y 2y = (xy -f l) 2 • 2y. 
1 y 2 2yy 
Die Gruppe lässt also die Differentialgleichung erster Ordnung y — 0 
invariant (wie noch verificiert werden mag) und überdies offenbar diese: 
4- = 0, 
y 
im ganzen mithin zwei, und sie ist daher auf Typus 1 zurückzuführen. 
Man erkennt, dass sie überdies schon genau dieselbe Zusammensetzung 
wie dieser hat. Versuchen wir daher, direct anzusetzen: 
x 2 P + <1 = P + <?, 
— xp + yq = xp + yq, 
p -{- y*q = x 2 p + y 2 q. 
Es würde sich hieraus ergeben: 
x 2 p -f- q 
xp + yq 
p -f y 2 q 
1 
x 
X 2 
1 
r 
= 0 
oder: 
(y — X) 0’ + y 2( l) + xy{y — x) {x 2 p -\~q) — (y 2 — x 2 ) (— xp -f- yq) = 0 
oder also; 
(P + V 2 0) + xy{x 2 p + q) — {x y) (— xp -f yq) = 0. 
Andererseits besteht aber die Identität; 
x 2 p -(- q x 2 1 
- xp -f- yq — x y =0 
P~\ry 2 {1 1 y 2 
oder: 
{x 2 y -f x) (p -j- y 2 q) (xy 2 + y) (x 2 p + q) — (x 2 y 2 — 1) (— xp + yq) = 0, 
also: 
(p + y 2 q) — - J - (x 2 p + q) — (— xp + yq) = 0. 
Der Vergleich giebt: 
x