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unsere Methode 
durchzuführen. 
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lern Begriff einer 
zeigen, wie man 
nippe gelangen 
Construction einer Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 31 
kann. Wir wollen also jetzt ganz davon absehen, dass die infinitesi 
male Transformation etwa die einer eingliedrigen Gruppe sei, wir 
wollen sie vielmehr direct ohne Benutzung des Gruppenbegriffs defi 
nieren durch zwei Gleichungen von der Form: 
(9) x'=x%{x,y)dt-\ , ij = yri(x,ij)dt -1 , 
wo | und 7] zwei irgendwie gegebene Functionen von x, y sein sollen 
und dt eine unendlich kleine Grösse bedeute. Wir denken uns die 
weggelassenen Glieder als convergente Potenzreihen nach dt, die mit 
Gliedern zweiter Ordnung beginnen. 
Diese Transformation (9) ist eine infinitesimale, denn sie führt 
alle Punkte (x, y) in ihnen unendlich benachbarte Punkte {x, y') über, 
deren Coordinaten, wenn wir von unendlich kleinen Grössen zweiter 
Ordnung absehen, um die infinitesimalen Strecken 
(10) dx — ^dt, dy = ydt 
grösser als die ursprünglichen sind. Jedem Punkte (x, y) wird somit 
eine unendlich kleine Fortschreitungsstrecke von der Länge 
Fortschrei- 
tungsstreoke 
u. -richtung. 
Ydx 2 -f- dy 2 = ]/£ 2 -f- rf dt 
zugeordnet und zwar den verschiedenen Punkten im allgemeinen solche 
von verschiedener Länge und verschiedener Lichtung. 
Man erhält ein anschauliches und fruchtbares Bild von der infini- Kin ^“ ati - 
tesimalen Transformation (9), wenn man von unendlich kleinen Grössen 
zweiter Ordnung absieht und sich vorstellt, dass alle Punkte (x, if) 
der Ebene in Bewegung versetzt werden und im Zeitelement dt eben 
jene unendlich kleinen Strecken ]/| 2 -f- rf 1 dt beschreiben, deren Pro- 
jectioneu auf die Axen die Längen %dt und rjdt haben. Dies anschau 
liche Bild legt es uns nahe, die betreffende unendlich kleine Orts 
veränderung fortwährend nach einander, unendlich oft auszuführen. 
Im ersten Zeitelement dt gelangt der Punkt (x, y) aus seiner Anfangs 
lage in die neue Lage (x, y), im nächsten Zeitelemeut dt durchläuft 
er alsdann die unendlich kleine Strecke ]/£(#', y') 2 -f- y(x, y f dt u. s. w. 
Der ursprüngliche Punkt (x, y) kommt durch diese fortwährende Aus 
führung der infinitesimalen Transformation nacheinander in lauter 
neue Lagen, die eine stetige Reihe bilden, also eine Curve darstellen. 
Wir denken uns also, präciser gesagt, alle Punkte der Ebene in 
Bewegungen begriffen, welche dadurch definiert sind, dass für jeden 
Punkt (x, y) die Geschwindigkeitscomponenten die Werte 
^ = Ux^yf), ~ = 7j(x lf yf) 
haben, die nur vom Orte {x, y), nicht aber von der Zeit abhängeu.