Reduction der Gruppen, welche keine Diffgl. 2. 0. inv. lassen. 
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U l = ayp = ccy — q = q, 
U 2 = ßiP = ßi ■ ~y 7 I = «i, 
u 3 = (n + y»y)p — m = (?i + y 8 y) ~ a — 
= + ya- 
Vi lg y 
« y' 2 
§ 5. Reduction der dreigliedrigen Gruppen, welche keine Differential 
gleichung zweiter Ordnung invariant lassen, auf ihre canonische Form. 
Wir haben von vornherein in den drei letzten Paragraphen die 
jenigen Typen von dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Trans 
formationen von der Betrachtung ausgeschlossen, welche bei der 
Integration von Differentialgleichungen zweiter Ordnung nicht Vor 
kommen. (Vgl. § 1.) Da aber das in den §§ 2, 3, 4 behandelte 
Problem unabhängig von der Integration von Differentialgleichungen 
eine gewisse Bedeutung in der Gruppentheorie hat, so wollen wir uns 
nun noch fragen, wann eine Gruppe ü x f, U 2 f, U 3 f in x, y auf einen 
der ausgeschlossenen Typen, d. h. nach dem Schema des § 3 des 
22. Kapitels auf eine der beiden Formen 
a ya y 2 a> 
q xq X(x)q 
reducibel und wie diese Reduction auszuführen ist. 
Die Gruppe U i , U 2 , U 3 ist dann und nur dann auf einen dieser 
Typen zurückführbar, wenn U 2 und U 3 sich nur um von einander 
abhängige Factoren von ü x unterscheiden. Insbesondere ist sie auf 
den ersten oder zweiten Typus reducibel, je nachdem ihre erste deri- 
vierte Gruppe 3- oder O-gliedrig ist. 
Sie sei zunächst 3-gliedrig, d. h. L\, U 2 , ü 3 sei auf den ersfew Reduction 
Typus £ rsten 
J 1 9 Typus. 
a, ya, y a 
reducibel. Dann wählen wir U 1} U 2 , U 3 so von einander unabhängig 
in allgemeinster Weise aus der vorgelegten Gruppe aus, dass sie die 
Zusammensetzung des Typus ergeben, also 
Lie, Differentialgleichungen. 
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