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Kapitel 24, § 1. 
Typus 1 
Noch bemerken wir, dass wir nachher, in § 3, diejenige Inte 
grationsmethode entwickeln, nach der die Zurückführung auf die cano- 
nischen Formen in den meisten Fällen nicht nötig ist, und auf welche 
wir schon im vorigen Kapitel hindeuteten. 
§ 1. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, 
welche eine dreigliedrige Gruppe vom Typus 1 oder 2 gestatten. 
Der Typus 1 des in § 3 des 22. Kap. angegebenen Schemas hat 
die Form: 
P + Ъ X P -f yq, x 2 p + \fq. 
Wir fragen nach denjenigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung: 
у — co{x, y, y) = 0, 
welche diese drei infinitesimalen Transformationen gestatten. Dazu 
benutzen wir das Theorem 35 des § 3, 16. Kap. 
Soll die Gleichung у" — со = 0 die infinitesimale Transformation 
p -f- q gestatten, so muss ca danach diese Bedingung erfüllen: 
доз . дсо ^ 
dx dy ’ 
d. h. оэ hat die Form: 
со = о? (x — y, y). 
Soll sie auch xp -(- yq gestatten, so muss dies оз ferner der 
Gleichung genügen: 
. доз , dco „ 
CO —X ts— + У Ts— == 0. 
1 cx ' J oy 
Bezeichnen wir x — у für den Augenblick mit u, so ist: 
dco доз доз доз 
дх “ du’ ду du* 
die Bedingung geht also über in: 
sodass со die Form hat: 
со —f- и 
д и 
0, 
CO 
fjy) 
и 
Nun soll y"— ca = 0 auch x 2 p -f- y 2 q gestatten, und daraus folgt 
die letzte Bedingung: 
Da 
2y' 2 — 2у -j- (2у — 4ж)оэ 
д со 
дх ^ ду 
2 У {у 
о [/ ш е> д t 
— аг 75— — у 
0. 
ч дсо 
Х ) ö-r — 
' ду 
дсо f доз , f дсо f 
ду и’ дх и-’ ду и 1 
ist, so nimmt sie die Gestalt au: