Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung dritter Ordnung in x, y. 563 
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Si' 
IV 
((JLi-p!), 
r+y* ( 3 y ~~ w ) = a > 
so lautet die Differentialgleichung: 
fff r\ 
y — co = 0. 
Um sie zu integrieren, beachten wir, dass die gesuchte Curve in eine 
ebensolche übergeht, wenn man sie in der Ebene verschiebt oder 
dreht. Die Differentialgleichung gestattet daher die Translationen: 
UJ = p, ü 2 f=q 
und die Rotation: 
U 3 f= — yp + xq, 
die zusammen eine dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen bilden. Die gewöhnliche Differentialgleichung y 
ist der linearen partiellen äquivalent: 
co 
0 
A r df , f df . 
A f=di + y ¥ii + ,J 
% + ro |4 = 0, 
' 1 oy ’ 
dy J dy’ 
welche die zweimal erweiterten infinitesimalen Transformationen zulässt: 
Ui T — dx> 
U"f= fLL 
u * ’ — dy’ 
df 
df 
df 
df 
A = 
3 2/Y' 2 — (1 + y 2 )™ 
u*f= ~ y ¿jo + x %, + t 1 + y' 2 ) w + 3 yy" dfr ’ 
die eine dreigliedrige Gruppe bilden, deren erste derivierte Gruppe 
zweigliedrig ist. Es ist die Determinante von Af und den ü"f: 
1 y y" co 
10 0 0 
0 10 0 
-y x 1 + ip 3yy 
= y" 2 • w. 
Sobald wir w e|e 0 annehmen, was wir thun wollen, ist A e|e 0, und 
wir können die Integration nach der Methode des vorigen Paragraphen 
durch drei Quadraturen ermöglichen. 
Es ist: 
(U''un = 0, (JJ”U 3 ) = U 2 ", (i7 2 "U 3 ") = - U t ", 
während jedes (JJl'A) = A, Af ist. Die drei Gleichungen: 
Af= 0, ü;'f= 0, ü 2 "f = 0 
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