Schlusswort. 
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Schlusswort. 
Wir wollen nunmehr mit einigen Bemerkungen über die Bedeu 
tung der vorgetragenen Theorie dieses Werk beschliesseu. 
Nehmen wir an, es liege — um gleich allgemein zu reden — 
ein System von Differentialgleichungen vor, welches integriert werden 
soll und von dem man weiss, dass seine allgemeinen Lösungen nur 
arbiträre Constanten, keine arbiträren Functionen, enthalten. Alsdann 
kann man sich fragen, ob dasselbe infinitesimale Transformationen ge 
stattet. Lässt sie solche zu und zwar eine begrenzte Anzahl von ein 
ander unabhängiger, so ist es immer möglich, die Bestimmung dieser 
infinitesimalen Transformationen zurückzuführen auf das Problem, ein 
gewisses vollständiges System von linearen partiellen Differential 
gleichungen zu integrieren, welches bekannte infinitesimale Transfor 
mationen gestattet. Wird dieses vollständige System integriert, so 
findet man die gewünschten infinitesimalen Transformationen und ihre 
Verwertung ermöglicht alsdann gewisse Vereinfachungen des Inte- 
grationsproblemes. Das dann noch zu erledigende Integrationsgeschäft 
lässt sich nämlich wiederum auf die Integration eines vollständigen 
Systems mit bekannter Gruppe von infinitesimalen Transformationen 
zurückführen. 
Wenn ein System von Differentialgleichungen vorliegt, so kann 
man sich ferner die aus vielen Gesichtspunkten wichtige Frage ver 
legen, ob dasselbe auf eine gegebene typische Form reduciert werden kann. 
Die Frage der Möglichkeit dieser Zurückführung lässt sich immer 
durch die allgemeine Theorie der Differentialinvarianten entscheiden. 
Ist die Reduction möglich, und gestattet dabei die typische Form eine 
endliche Gruppe von infinitesimalen Transformationen, so kann man 
die wirkliche Überführung leisten, sobald man ein gewisses vollstän 
diges System mit bekannter Gruppe von infinitesimalen Transforma 
tionen integriert hat. Wieder also tritt das letztere Problem auch 
hier in den Vordergrund. 
Schon diese Bemerkungen genügen, die hervorragende Wichtigkeit 
des Problems zu zeigen, ein vorgelegtes vollständiges System mit be 
kannter Gruppe von infinitesimalen Transformationen zu integrieren. 
Eine Begründung der obigen Bemerkungen kann freilich hier 
nicht gegeben werden, denn sie setzt die Kenntnis der allgemeinen 
Theorie der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen voraus*). 
*) Eine ziemlich eingehende Integrationstheorie eines vollständigen Systems 
mit bekannter Gruppe findet sich, wie schon gelegentlich bemerkt wurde, in