Construction einer Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 37 
— arc sin t. 
Hieraus ist nun h — ]/x 2 -j- y 2 wieder zu entfernen, wodurch das 
zweite Integral 
W(x 1: y x ) — t = — arc sin 
t 
kV + Vi 
unseres simultanen Systems (11) hervorgeht. Danach sind 
— arc sm 
+ Vi = x 2 + y 2 , 
t = — arc sin 
(13') 
• «III V CLJLKj Ol-I-L 
iV + 2/i 2 + 
die Gleichungen der von der infinitesimalen Transformation (9') er 
zeugten Gruppe. Ihre Auflösung nach x l und y i ist in dieser Form 
etwas umständlich. Bequemer wird sie, wenn man die Integralglei 
chungen des simultanen Systems (11') in einer für dies Beispiel ge 
schickteren Form annimmt. Wir fanden als erstes Integral 
als zweites zunächst 
oder 
V + Vx = 
arc sin ~ — t = — c (= Const.) 
f = siu (P — 0; 
sodass aus dem ersten folgt 
~ = cos (c — t). 
Für t — 0 soll x 1 — x, y x ~y sein. Demnach haben wir die vier 
Gleichungen 
x t = 1c sin (c — t), ij y — 1c cos (c — t), 
x =lc sin c, y = 1c cos c, 
und hieraus sind die Constanten c und 1c zu eliminieren. Es kommt; 
x x — h (siu c cos t — cos c sin t) = X cos t — y sin t, 
[y x — 1c (cos c cos t + sin c sin t) ■= x sin t -f- y cos t, 
und diese Gleichungen stellen in der That eine eingliedrige Gruppe 
dar, nämlich die uns schon bekannte Gruppe der Rotationen um den 
Anfangspunkt. 
Auch stimmt ihre infinitesimale Transformation, wie wir schon 
von früher her wissen, mit (9') in den Gliedern erster Ordnung 
überein. 
2. Beispiel: Liegt die infinitesimale Transformation 
(9") x t — x -f- x8t, y 1 = y-\-ydt 
vor, so lautet das simultane System 
(12")