Nachweis, d. e. einglied. Gruppe nur eine infinitesimale Transformation besitzt. 39 
Hierin sind also unter x x und y x die Werte (15) in x, y und a zu ver 
stehen. Diese Transformation (17) ist die Reihenfolge zweier Trans 
formationen der Gruppe, der Transformation (a) und einer unendlich 
kleinen. Sie ist mithin einer Transformation der Gruppe äquivalent, 
die sich von der Transformation (a) nur um unendlich wenig unter 
scheidet, also etwa dem Parameterwert a -f- da zugehört, wo da wie 
das obige dt eine infinitesimale Grösse bedeutet. Wie allgemein 
zwischen den Parametern a, a x zweier aufeinander folgender Trans 
formationen der Gruppe und dem Parameter A derjenigen Transfor 
mation derselben, welche dieser Reihenfolge äquivalent ist, eine Relation 
besteht, welche A als Function von a und a x allein darstellt, so ist 
auch in dem jetzigen speciellen Fall der Parameter a -f- da eine 
Function von a und dt allein, also auch da hängt nur von a und dt ab. 
Die Transformation (a -{- da), welche der Transformation (17) 
äquivalent ist, lautet: 
x 2 = cp ix, y,a -f- da), y 2 = ip (x, y, a + da) 
oder ausgeführt: 
^ = cp{x, y, a) 4- gqp a) #« + •••, 
y 2 = *p(x, y, a) -f — !X f^ ,a) dpi -j . 
Vergleichen wir diese Ausdrücke mit den Werten (17) von x 2 und y 2 , 
so ergiebt sich: 
+ s^l da+ ..., 
(18) „ 
Vi) dt 4 —|~- a) - da + • • ■ . 
Hierin sollen, wie man nicht vergessen darf, x x und y x die durch (15) 
bestimmten Functionen von x, y und a bedeuten oder, was dasselbe 
ist, es sollen umgekehrt x, y die durch (15) bestimmten Functionen 
von x x , y x und a sein. 
Die Gleichungen (18) müssen nach Voraussetzung bestehen für 
alle Werte von x, y und a. da und dt sind gewisse unendlich kleine 
Grössen, und zwar ist da eine Function von dt und a. 
Erteilen wir den Grössen x, y irgend welche bestimmte Zahlen 
werte, so hängen x x und y x nach der Gleichung (15) nur noch von a ab. 
Also stellt dann jede der Gleichungen (18) eine Relation zwischen dt 
und da her, die ausserdem noch a enthält. Diese Relationen müssen 
natürlich mit derjenigen übereinstimmen, welche da durch dt und a