er so gewählt 
ner der beiden 
Nachweis, d. e. eingliedr. Gruppe nur eine infinitesimale Transformation besitzt. 41 
y(x i , y x ) nicht 
xen, dass etwa 
d cp {x, y, a) 
da 
denn 
anstatt 
y bestimmt an- 
mwerte zu ver- 
jonst <p frei von 
ansformiert und 
bei bestimmter 
dt und a in 
i beide ver- 
rössen da und 
ie man in der 
he von 8 t ent- 
isse Functionen 
8), indem wir 
,uffasseu. Als- 
schliesslicb. zur 
e aus (15) fol- 
n und erhalten 
Jlfo, Vd = x { x i,Vu a ) ' % («); 
Ui x i, Vi) = Yfa,y if a)'- w x (a). 
Dieselben gelten für die Coefficienten |, y der infinitesimalen Trans 
formation (16) der Gruppe, von der wir ausgingen. Sie müssen 
für jedes Wertsystem x 1} y 1 , a richtig sein, ihre linken Seiten aber 
sind frei von a, ihre rechten Seiten enthalten also nur scheinbar a, 
d. h. X und Y haben die Form 
X{x i} y u d) = 
w{a) ’ 
yi> °) = 
b (#i} j/i) ^ 
w{a) 
Erteilen wir nun in den Gleichungen (19') der Grösse a einen be 
stimmten Wert ä, so gehen X(x lf y x , a) und Y{x x , y lf a) in Functionen 
von x 1} y 1 allein über: 
X(*u Vi> a ) = X (. x i, yd7 Y i x i, dx, a ) = Y ( x x, yd, 
während «^(a) in eine Constante sich verwandelt. Demnach sind 
%{ x x,vd, v( x i,yi) bestimmt bis auf einen constanteu Factor K: 
K x x, yd = K X ( x x, yd, v( x i, yd = XY ( x x, yd, 
und zwar gilt dies für jede infinitesimale Transformation (16) unserer 
Gruppe. 
Irgend zwei infinitesimale Transformationen unserer Gruppe, etwa 
x — x -j- £ 8t -f- • • •, y = y ~\~ y dt • 
und 
x = x + | dt -j , y = y + y dt -f 
können sich daher in den Gliedern erster Ordnung nur um einen 
constanten Factor Je unterscheiden, indem 
| = Ä|, y = Jcy 
ist. Aber zwei solche infinitesimale Transformationen, deren Glieder 
erster Ordnung (die höherer Ordnung kommen, da dt infinitesimal 
ist, nicht in Betracht) sich nur um einen constanten Factor unter 
scheiden, nennen wir von einander abhängig, da sie im Grunde geuom- ' / ' ' ' 
men übereinstimmen, denn beide ordnen den Punkten proportionale 
Fortschreitungsstrecken zu und ausserdem ist die Constante dt doch 
nur insofern bestimmt, als sie unendlich klein sein soll, sodass Je dt 
dasselbe wie dt bedeutet. Wir können also den Satz aussprechen: 
Satz 3: Eine eingliedrige Gruppe der Ebene mit paarweis inversen 
Transformationen enthält nur eine infinitesimale Transformation; oder 
exacter ausgesprochen: Alle infinitesimale• Transformationen einer ein-