Nachweis, d. e. eingliedr. Gruppe nur eine infinitesimale Transformation besitzt. 43 
der infinitesimalen Transformation der Gruppe angiebt, so ist die 
Gruppe durch ihre infinitesimale Transformation völlig definiert, also: 
Satz 4: Eine eingliedrige Gruppe der Ebene ist durch ihre infini 
tesimale Transformation völlig definiert, 
oder auch: 
Satz 5: Jede infinitesimale Transformation 
x' = x + g(s, y) d t, y =i/ + rj(x,y)ii 
gehört einer und nur einer eingliedrigen Gruppe der Ebene an. 
Dass dies nämlich für jede infinitesimale Transformation, nicht 
nur für eine solche gilt, von der wir von vornherein wissen, dsss sie 
einer Gruppe angehört, folgt aus den Betrachtungen des vorigen Pa 
ragraphen, aus Theorem 1. 
Die Ergebnisse dieses und des vorigen Paragraphen, können wir 
nun in knapper Form so zusammenfassen; 
Theorem 2: Jede eingliedrige Gruppe der Ebene mit paar 
weis inversen Transformationen enthält eine und nur eine in 
finitesimale Transformation. Jede infinitesimale Transfor 
mation der Ebene gehört einer und nur einer eingliedrigen 
Gruppe an. Dieselbebesitzt paarweis inverse Transformationen. 
Dies Theorem ist also so zu verstehen: 
Liegt eine eingliedrige Gruppe der Ebene mit paarweis inversen 
Transformationen vor, so können die Reihenentwickelungen 
= x + Ux, y) t -\ 
Vi = y + V&y)t-\— 
derselben freilich unendlich viele Formen annehmen, welche sich aber 
in den Gliedern erster Ordnung nur dadurch unterscheiden, dass an 
Stelle von | und rj resp. Jctj und — statt t gesetzt wird. 
Liegen andererseits zwei Reihenentwickelungen 
= x + l{x,y)t-\ 
Vi = y + V 0, y) M— 
vor, so giebt es immer eine und nur eine eingliedrige Gruppe, deren 
Reihenentwickelungen in den Gliedern erster Ordnung mit diesen über- 
einstimmen. 
Hiermit ist die Grundlage unserer Untersuchungen, der Begriff 
der eingliedrigen Gruppe, entwickelt worden. Im nächsten Kapitel 
werden wir nun mehrere mit der eingliedrigen Gruppe eng verbundene 
Begriffe und Sätze ableiten.