44 
Kapitel 2, § 5. 
Eingliedrige Infolge unseres Theorems 2 kann es keinem Zweifel unterliegen, 
Gruppe, er- ° . 
hie f in find was un ^ er einer eingliedrigen Gruppe der Ebene, erzeugt von einer gc- 
Transfor“ dienen infinitesimalen Transformation, zu verstehen ist. Diese Aus- 
mation. clrucksweise werden wir öfters gebrauchen. 
Beispiele. Wir fügen zu diesem Kapitel noch einige Beispiele hinzu, die 
der Anfänger sorgfältig durchrechnen möge. 
1. Beispiel: Die Gleichungen 
*9t, 
stellen eine eingliedrige Gruppe dar. Um dies zu verificieren, kann 
man so verfahren: Es ist offenbar 
und 
x 1 y 1 = xy 
X { X 2 4" xyt X , , 
Vi xy V ' 
Diese beiden Gleichungen aber haben die in Theorem 1 (§ 4) an 
gegebene Form, indem hier Sl(x, y) = xy, W{x, y) = ~ ist. 
t = 0 liefert die identische Transformation der Gruppe, also 
t = dt die infinitesimale. Es ist aber: 
Y^+ xySt = x]/l + | dt = * (l + 3t + 
sodass 
x 1 = x^yöt-] , y t = y — \ y — dt ■ ■ • 
die infinitesimale Transformation vorstellt. Hier ist 
1 = ~ky? v — > 
demnach gehen rückwärts die endlichen Gleichungen der Gruppe her 
vor durch Integration des simultanen Systems: 
2cZ 2x, dy 1 d^ 
H yd ~~ ’ 
was man sofort verificieren kann. 
2. Beispiel: Man zeige, dass die Gleichungen: 
xy — t 
x -f- t 
Xl = x -f t, y x 
eine eingliedrige Gruppe darstellen und dass hier 
Ux, y) E== 1, y\ix, y) = 
i + y 
x