Nachweis, d. e. eingliedr. Gruppe nur eine infinitesimale Transformation besitzt. 45 
unterliegen, 
von einer ye- 
Diese Aus- 
zu setzen ist. Ferner verificiere man, dass x x und y x als Functionen 
von t das simultane System 
dx x x 1 dy l ^ 
1 _ 1 + Vx 
erfüllen. 
ie hinzu, die 
3. Beispiel: Es soll gezeigt werden, dass, wenn x x ,■ y x die Wur 
zeln u der quadratischen Gleichung 
(u — x) (u — y) -f- t = 0 
icieren, kann 
bedeuten, alsdann die Werte von x 1} y x ausgedrückt in x, y, t eine 
eingliedrige Gruppe darstellen. Die quadratische Gleichung lautet 
ausmultipliciert: 
u 2 — (x -f- y)u 4“ xy -f- t = 0. 
Nach einem Elementarsatze ist also: 
l 1 (§4) an 
te . , 
— ist. 
y 
Gruppe, also 
%i+yi=x-\-y, 
Xi y x = xy + t 
Dies sind zwei Gleichungen von der Form 
y), 
~ t = W(x,y), 
wie sie in Theorem 1 (§ 4) Vorkommen und stellen daher nach x 1; y v 
aufgelöst eine eingliedrige Gruppe dar. Man bilde die Auflösungen 
+ ■■•)> 
und zeige, dass die Gleichungen 
.St . .St , 
x i — x + H > yi — y + H 
die infinitesimale Transformation der Gruppe geben. 
r Gruppe her- 
Kapitel 3. 
Symbol einer inflnitesimalen Transformation und einfache Formen 
einer eingliedrigen Gruppe der Ebene. 
Wir werden zunächst zeigen, dass man durch Einführung neuer inhaitsan- 
Veräuderlicher in eine eingliedrige Gruppe wiederum eine eingliedrige Kapitels. 
Gruppe erhält. Alsdann werden wir finden, dass sich alle eingliedrigen 
Gruppen der Ebene durch Einführung zweckmässiger neuer Yariabeln 
auf eine gemeinsame einfache Form bringen lassen. — Danach legen 
wir besonderen Nachdruck auf das Symbol, das wir zur Darstellung 
einer infinitesimalen Transformation einführen werden. Die Wichtigkeit 
dieses Symbols wird sich als sehr bedeutend herausstellen, unter an 
derem wird es uns gelingen, die endlichen Gleichungen einer durch