46 Kapitel 3, § 1. 
eine gegebene infinitesimale Transformation erzeugten eingliedrigen 
Gruppe durch Benutzung des Symbols in einer bemerkenswerten Form 
darzustellen. 
§ 1. Einführung neuer Veränderlicher in eine eingliedrige Gruppe. 
zweierlei Wenn zwischen zwei Veränderlichenpaareu x, y und £, b Glei- 
Auffassung 
einer Trans-chungen festgesetzt werden: 
formation. 
(1) £ = K x ,y)> \) = 
so stellen sie, vorausgesetzt, dass sie auch nach x, y auflösbar seien, 
eine Transformation dar. Bisher haben wir eine Transformation immer 
als eine Operation aufgefasst, welche die Punkte (x, y) der Ebene in 
die neuen Lagen (j, l)) überführt, also als eine Ortsveränderung, sagen 
wir als eine Bewegung aller Punkte der Ebene. Aber wir können 
die Gleichungen (1) auch anders auffassen. 
Beispiel. Wenn wir z. B, die Gleichungen ansetzen: 
(2) r = ]/x 2 + tf, cp = arc tg |, 
durch welche x, y in r, cp transformiert werden, und wir verstehen 
unter x, y rechtwinklige Punktcoordinaten, unter r, cp dagegen Polar- 
coordinaten mit dem Anfangspunkt des Axensystems als Pol und der 
positiven x-Axe als Anfangsstrahl, so ist der Punkt (x, y) genau 
identisch mit dem Punkt (r, cp). Die Gleichungen (2) stellen in dieser 
Auffassung keine Bewegung der einzelnen Punkte der Ebene dar, son 
dern vermitteln nur den Übergang von einem Coordinatensystem zu 
einem anderen. 
Neues Co- g 0 können wir allgemein die Gleichungen (1) betrachten als 
ordinaten- ° ° ' ' 
system. Formeln, welche den Übergang von dem System der rechtwinkligen 
Punktcoordinaten x } y zu einem gewissen anderen Coordinatensystem 
£, b in der Ebene bewerkstelligen. Dort sind x= Const. und y — Const. 
die Coordinaten- oder Parameterlinien, hier sind es die Curven £— Const. 
un d b == Const., die im ursprünglichen Coordinatensystem die Glei 
chungen X{x, y) — Const., [i(x, y) = Const. haben. Bei diesem Über 
gange von den Werten x, y zu den Werten £, b bleiben also alle 
Punkte der Ebene in Ruhe, die Gleichungen (1) stellen einen bloss 
analytischen Process dar, der mit den geometrischen Gebilden selbst 
nichts zu thun hat. 
Es sei nun eine eingliedrige Gruppe vorgelegt: 
(3) X t = cp (x, y, t), y x = ip{x, y, t). 
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