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Kapitel 3, § 3. 
Keihenent- 
wickelung 
einer be 
liebigen 
Function. 
Setzen wir nunmehr in dieser Formel t — 0, so gehen x 17 y x in 
x, U x f x in Uf f U x {U x f x ) in U{TJf) U. s. w. über. Folglich kommt: 
(10) PP1 
m-mal 
Hiernach geht die Reihenentwickelung (16) über in diese: 
(20) f^f^yd-fM+r Vf+Vi *W) + rír3 U(U(Uf)) + - 
und diese Formel gilt für jede Function f(x x , yf) der transformierten 
Yariabeln x X7 y X7 also auch für f x = x x und f=y X7 sodass insbesondere 
folgt: 
U - * + Y Vx + fj IT(TJx) + U(U{Ux)) +■■; 
(21) 
U = y + | üy + ü(Uy) + ^ U(U{Vy)) + ■■■. 
Diese Gleichungen sind die, welche wir suchten. Sie drücken ja 
x X7 y x als Functionen von t und den Aufangswerten x, y aus, d. h. 
sie sind die endlichen Gleichungen der von Uf erzeugten eingliedrigen 
Gruppe. Da wir immer nur solche Gruppen betrachten, bei denen x x 
und y x analytische Functionen von x, y und t sind, so ist sicher, 
dass diese Reihen jedenfalls für Werte von t in der Nähe von t — 0 
convergieren. 
Theorem 4: Die endlichen Gleichungen der von der infini 
tesimalen Transf ormation Uf =£ + rj erzeugten einglie 
drigen Gruppe können in Form von Feihenentwichelungen nach 
dem Parameter t der Gruppe so geschrieben werden: 
®i = x + Y üx + rrö U(üx) + U(U(Ux)) , 
* - *+4 uy + fi um + lT ‘ s ’. s u{um)) + ■■■: 
und jede Function f von x i7 y x hat die Form: 
/'(»!> '!/,) = f(%, y) + j Uf(x, y) + fU{Uf(x, y)) + 
+ U{U(Uf(x,y))) + --. 
Im vorigen Kapitel, im Theorem 1 (§4), berechneten wir nur 
die ersten Glieder der Reihenentwickelungen: 
t , U di , di\ t*